Triangle

Triangle

Caractéristiques du triangle

La figure plane formée par trois points reliés par des segments, appelés sommets et côtés respectivement, est définie comme un triangle en géométrie euclidienne.
Ce triangle délimite une zone appelée intérieur. Si les sommets sont distincts, chaque sommet est associé à un angle intérieur, d’où le nom de “triangle”.
En tant que polygone le plus simple délimitant une zone du plan, le triangle est utilisé comme élément fondamental pour découper et approximer des surfaces.
Il existe de nombreuses constructions géométriques liées à un triangle qui ont été décrites dans les Éléments d’Euclide il y a près de 300 ans avant JC.
Les relations entre les angles et les longueurs des côtés sont à l’origine de techniques de calcul de distances par triangulation, appelées trigonométrie.

Le triangle, son origine, sa représentation, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits

Qu’est-ce qu’un triangle ?

La géométrie euclidienne définit un triangle comme une figure plane formée par trois points (appelés sommets) reliés par des segments (appelés côtés) qui délimitent un domaine appelé intérieur. Si les sommets sont distincts, chaque sommet est associé à un angle intérieur, d’où le nom de “triangle”.

Le triangle est le polygone le plus simple qui délimite une zone du plan, il est donc utilisé comme élément fondamental pour découper et approximer des surfaces. Il existe de nombreuses constructions géométriques liées à un triangle qui ont été décrites dans les Éléments d’Euclide il y a près de 300 ans avant JC. Les relations entre les angles et les longueurs des côtés sont à l’origine de techniques de calcul de distances par triangulation, appelées trigonométrie.

En dehors de la géométrie euclidienne, les côtés d’un triangle sont remplacés par des arcs géodésiques et de nombreuses propriétés sont modifiées (voir trigonométrie sphérique).

Un triangle est défini par ses trois sommets et est généralement noté en utilisant les lettres correspondantes. L’ordre des lettres n’a pas d’importance, mais il est généralement noté dans un sens trigonométrique. Les angles d’un triangle peuvent être identifiés en utilisant la lettre du sommet correspondant, accompagné d’un accent circonflexe. Les côtés de l’angle peuvent également être précisés en utilisant les lettres des autres sommets. Ces angles peuvent également être notés en utilisant des lettres grecques en minuscule et en italique.

Quelles sont les propriétés du triangle ?

Les inégalités du triangle

Pour construire un triangle, il est nécessaire de respecter l’inégalité des longueurs de côtés : pour chaque côté, sa longueur est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Les triangles plats sont caractérisés par l’égalité de cette inégalité. Pour vérifier cette inégalité, il suffit de comparer la plus grande longueur avec la somme des deux autres. En utilisant cette méthode, il est possible de construire un triangle en traçant un segment d’une longueur donnée, puis en dessinant deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment et ayant pour rayon les deux autres longueurs. Les deux cercles auront deux points d’intersection, et n’importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions souhaitées avec le segment initial.

La somme des angles du triangle

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°, une propriété caractéristique de la géométrie euclidienne. Cependant, d’autres géométries existent, telles que la géométrie elliptique ou hyperbolique, où la somme des angles d’un triangle peut être supérieure ou inférieure à 180°. Il est possible de construire un triangle avec des mesures d’angles données, en traçant un segment, et en formant les angles voulus avec des demi-droites en chaque extrémité du segment. Les deux demi-droites auront un point d’intersection où l’angle intérieur sera le troisième angle voulu.

Les cas singuliers du triangle

Un triangle dégénéré est un triangle où au moins deux sommets sont confondus. Un triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés. Un triangle isocèle possède au moins deux côtés de même longueur, avec les angles adjacents ayant la même mesure. Un triangle équilatéral a tous ses côtés de même longueur et ses angles ont tous la même mesure de 60°, avec trois axes de symétrie. Un triangle scalène n’est ni isocèle ni plat et peut également être rectangle. L’adjectif “scalène” ne signifie pas “quelconque”, un triangle quelconque peut posséder des propriétés particulières, tandis qu’un triangle scalène ne peut être ni isocèle ni équilatéral.

Un triangle qui a un angle droit est appelé triangle rectangle. Il satisfait le théorème de Pythagore. S’il possède un angle obtus, il est connu sous le nom de triangle obtusangle ou ambligone. Si tous les angles sont aigus, il est connu sous le nom de triangle acutangle ou oxygone. Il existe des triangles particuliers tels que le demi-carré, le triangle des arpenteurs, le triangle de l’écolier, le triangle d’or, le triangle heptagonal et le triangle de Kepler qui ont des caractéristiques uniques en termes de longueur de côté et d’angles. Un triangle qui est divisé en deux triangles isocèles par l’une de ses bissectrices est appelé un triangle bisocèle. Seuls le demi-carré et le triangle d’or peuvent avoir cette propriété.

L’Aire du triangle

Pour calculer l’aire d’un triangle, il existe différentes formules. La première, dérivée de celle de l’aire d’un parallélogramme, utilise la longueur d’un côté comme base et la distance du sommet opposé à la droite qui porte ce côté comme hauteur. Cette formule est donnée par : A = 1/2 x base x hauteur. Il existe aussi d’autres formules qui utilisent la longueur des côtés ou les coordonnées des sommets dans un repère orthonormé.

Le périmètre du triangle

L’aire intérieure d’un triangle est majorée par celle d’un triangle équilatéral correspondant, pour un périmètre donné. La formule de calcul de cette aire maximale est : p² x √3/36, où p est le périmètre du triangle.

Les relations trigonométriques du triangle

Il est possible de calculer toutes les mesures d’angles et les longueurs de côtés d’un triangle en utilisant plusieurs relations. Outre la formule de la somme des angles, il y a une relation entre l’aire, la mesure d’un angle et la longueur des deux côtés adjacents (A=1/2bcsin(A)) qui permet d’obtenir la formule des sinus. Il y a également le théorème d’Al-Kashi qui généralise le théorème de Pythagore (a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A)) .

Les relations des triangles semblables

Deux triangles sont dits semblables s’ils ont les mêmes mesures d’angle. Ils ne sont pas nécessairement isométriques, mais leurs longueurs de côté sont proportionnelles avec un même coefficient de proportionnalité k. Leurs aires sont alors reliées par un facteur k2. Il existe une similitude (composée d’une isométrie et d’une homothétie) qui permet de les transformer l’un en l’autre. Cette définition équivaut à dire que les trois angles des deux triangles ont les mêmes mesures (AAA) ou que les longueurs des côtés des deux triangles sont proportionnelles. Il est à noter que deux triangles isométriques sont toujours semblables et deux triangles équilatéraux également.

Quelles sont les utilisations du triangle ?

Les relations métriques dans un triangle peuvent être utilisées pour évaluer des distances en navigation, géodésie et astronomie. En utilisant ce principe, le méridien terrestre a été mesuré pour définir le mètre. En géométrie, l’aire d’un domaine peut être décomposée en une série de triangles disjoints. Cette technique est utilisée en analyse numérique pour la méthode des éléments finis et en imagerie numérique.

Il existe plusieurs polyèdres (réguliers ou non) qui ont des faces triangulaires, tels que le tétraèdre, l’octaèdre, l’icosaèdre et le grand icosaèdre. Les polyèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux sont appelés deltaèdres. Enfin, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles, formant ainsi une triangulation. Le nombre minimal de triangles nécessaires à ce découpage est de n-2, où n est le nombre de côtés du polygone. L’étude des triangles est fondamentale pour comprendre les autres polygones, comme pour la démonstration du théorème de Pick.

Quelles sont les constructions géométriques associées au triangle ?

La construction géométrique du triangle médian

Si l’on relie les milieux des côtés d’un triangle, quatre triangles semblables au triangle initial sont formés. Le triangle central, appelé triangle médian, a ses sommets aux milieux des côtés du triangle initial et sa surface est égale à un quart de celle du triangle initial. Il est également connu sous le nom de triangle cévien du centre de gravité. Selon le théorème des milieux, les côtés de ce triangle sont parallèles à ceux du triangle initial et ont des longueurs proportionnelles dans un rapport de 1/2.

Le centre du cercle circonscrit et les médiatrices

Si un triangle n’est pas plat, il existe un point commun à ses trois médiatrices, appelé centre du cercle circonscrit. Il est à égale distance des trois sommets et est souvent noté O ou Ω. Ce centre est le milieu d’un côté pour les triangles rectangles et se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle selon qu’il est acutangle ou obtusangle. Le produit du rayon du cercle circonscrit et de l’aire du triangle est égal à un quart du produit des longueurs des côtés du triangle.

La cévienne du triangle

Dans un triangle, une cévienne est un segment de droite reliant un sommet à son côté opposé. Les médianes, hauteurs et bissectrices sont des exemples de céviennes particulières.

Les médianes d’un triangle relient chaque sommet au milieu du côté opposé. Elles divisent le triangle en deux parties égales. Lorsque le triangle est non plat, les trois médianes se rejoignent en un point appelé centre de gravité, souvent noté G. Ce point est à la fois l’isobarycentre des trois sommets et le centre de masse de l’intérieur du triangle.

Les hauteurs d’un triangle sont des droites passant par chaque sommet et perpendiculaires au côté opposé. Lorsque le triangle est non plat, les trois hauteurs se rejoignent en un point appelé orthocentre, souvent noté H. Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est l’un de ses sommets. Pour un triangle acutangle, l’orthocentre se trouve à l’intérieur du triangle, tandis qu’il est à l’extérieur pour un triangle obtusangle.

Les médiatrices d’un triangle sont les hauteurs de son triangle médian, et par conséquent, le centre du cercle circonscrit à un triangle est l’orthocentre du triangle médian. Le point de Longchamps est le symétrique de l’orthocentre par rapport au centre du cercle circonscrit.

Les bissectrices d’un triangle sont des demi-droites qui divisent les angles en deux angles de même mesure. Si le triangle est non plat, les trois bissectrices se rejoignent en un point appelé centre du cercle inscrit, souvent noté I ou J. Il est le centre du seul cercle qui est tangent aux trois côtés du triangle.

Le théorème de Steiner-Lehmus affirme que les longueurs de deux bissectrices dans un triangle sont égales si et seulement si les angles correspondants ont même mesure. Les points de contact du cercle inscrit avec les côtés forment le triangle de Gergonne, et les segments reliant ces points de contact avec les sommets opposés se rejoignent en un point appelé point de Gergonne.

Chaque bissectrice divise le côté opposé en deux segments dont les longueurs sont proportionnelles à celles des côtés de l’angle grâce à la loi des sinus. Par exemple, la longueur du segment de bissectrice allant du sommet A jusqu’au côté BC est : AM = 2(bc/(b+c))cos(A/2) où b et c désignent les longueurs des côtés AC et AB, et A l’angle en A.

L’origine du triangle dans la géométrie classique

Babylone et l’Égypte ancienne

La géométrie a des origines anciennes, remontant aux civilisations babylonienne et égyptienne il y a environ 2000 ans avant JC. Les Babyloniens et les Égyptiens utilisaient déjà des concepts de géométrie dans des problèmes pratiques tels que la construction, la fabrication et la décoration d’objets. Les inondations répétées du Nil ont également contribué à l’émergence de la géométrie, car les arpenteurs égyptiens devaient régulièrement retracer les limites des propriétés agricoles pour répartir les terres de manière équitable. Ils utilisaient des techniques telles que la mesure de longueurs, la détermination de surfaces divisées en formes géométriques comme des rectangles, des carrés et des triangles, et utilisaient des cordes à 13 nœuds pour marquer les angles droits, ils étaient alors appelés “tendeurs de cordes”.

Selon l’historien grec Hérodote, la géométrie est un don de la rivière Nil. Il est important de noter que durant cette période, la géométrie était considérée comme faisant partie intégrante des mathématiques, car tous les problèmes mathématiques étaient résolus à l’aide de concepts et de représentations géométriques. Les anciens Égyptiens étaient capables de calculer les aires de formes géométriques telles que les quadrilatères (trapèzes, rectangles) ou les triangles isocèles, mais les formules utilisées ne donnaient que des valeurs approximatives. Ces informations nous ont été rapportées par le scribe égyptien Ahmès à travers son célèbre Papyrus Rhind.

La Grèce

La géométrie grecque a commencé avec Thalès de Milet, connu pour avoir calculé la hauteur de la pyramide de Kheops. La géométrie est devenue plus déductive, les formules donnent des valeurs exactes et les propriétés ne sont plus admises sur des exemples, mais sont démontrées de manière générale. Il existait deux écoles importantes pendant cette période: la Fraternité pythagoricienne de Crotone, qui donnait une interprétation mystique des nombres et qui est créditée pour la découverte d’une longueur incommensurable telle que (voir Pythagore) et l’Ecole d’Alexandrie, fondée en 331 avant JC, qui était un centre intellectuel de l’époque et qui a vu l’émergence de grands savants tels qu’Euclide d’Alexandrie, Archimède de Syracuse et Apollonius de Perge. Les découvertes importantes de l’époque sont exposées et démontrées dans les œuvres phénoménales comme “Les éléments” (13 volumes) d’Euclide qui a servi de base à la géométrie pendant 2000 ans.

Significations et symboles du triangle à travers les cultures

Le triangle, qui est formé de trois points reliés, est la première forme géométrique et la première surface, ouvrant le plan en deux dimensions. Il est souvent considéré comme une figure divine symbolisant l’harmonie, la sagesse et la Trinité. Le symbolisme du triangle varie en fonction de s’il est isocèle, rectangle, équilatéral, droit, inversé ou dupliqué. C’est une figure ésotérique par excellence qui ouvre une voie de compréhension et de progression qui englobe la dualité du monde manifesté en même temps qu’elle la dépasse. Entrons dans le symbolisme du triangle.

Premier symbole du triangle : le chiffre 3

Le triangle est souvent associé au symbolisme du chiffre 3, qui est considéré comme la voie juste, la vérité ou la vie éternelle dans de nombreuses traditions. Il symbolise l’ordre, l’équilibre, la perfection et la réconciliation. Il permet de dépasser le binaire en unissant les contraires et en réconciliant les opposés. Il est considéré comme un lien intermédiaire entre le Ciel et la Terre, l’esprit et la matière, le haut et le bas, Dieu et l’Homme, le cercle et le carré, etc. Il évoque un pouvoir supra-naturel transcendant la matière.

Deuxième symbolique du triangle : la Trinité

Le triangle symbolise la Trinité dans de nombreuses traditions religieuses, notamment le christianisme, où il représente le Dieu unique en trois personnes : le Père, le Fils et le Saint-Esprit. Il peut également renvoyer à d’autres concepts tels que la source, la manifestation et l’esprit qui les relie, ou encore le point, le cercle et le rayon. Dans l’être humain, il peut également symboliser le corps, l’âme et l’esprit ou le corps, l’intellect et le cœur.

Les symboles des triangles isocèle, équilatéral et rectangle

Le triangle isocèle, avec ses deux côtés égaux, est souvent utilisé pour représenter le delta rayonnant en franc-maçonnerie. Il symbolise également l’harmonie parfaite, l’accord ou l’égalité entre trois principes équivalents. Le triangle équilatéral était le signe de ralliement des ouvriers pour la journée de 8 heures.

Le triangle rectangle, avec son angle droit, est souvent associé au symbolisme ésotérique du triangle 3-4-5, également appelé “triangle égyptien” ou “triangle sacré” qui exprime une proportion idéale. Enfin, le triangle d’or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont en proportion du nombre d’or.

3ème symbolique du triangle : la féminité

Le triangle pointé vers le haut symbolise le soleil, la masculinité et la paternité, tandis que le triangle orienté vers le bas évoque la lune, la féminité et la maternité. Le chiffre 3, lui-même, est considéré comme un symbole de fécondité, représentant la réunion de deux sexes opposés pour donner naissance à un nouvel être. Le triangle inversé, quant à lui, est considéré comme un symbole de la matrice ou du pubis féminin dans certaines cultures.

4ème symbole du triangle : sa représentation en Alchimie

Le triangle pointant vers le haut, symbolisant le feu en alchimie, représente le principe actif et l’élévation vers Dieu. A contrario, le triangle inversé, qui symbolise l’eau, est associé au caractère passif, changeant et pouvant être attiré vers le bas, mais avec la capacité de s’élever, comme l’âme humaine. Le sceau de Salomon, qui est la combinaison des deux triangles, symbolise la sagesse, l’union des contraires et l’alliance entre l’homme et Dieu.

5ème symbole du triangle : le sablier

Selon l’alchimie, le triangle inversé peut symboliser la partie supérieure d’un sablier. Ce dernier est composé de deux parties équivalentes qui ont la même valeur. Retourner le sablier, c’est saisir le concept selon lequel “ce qui est en haut est comme ce qui est en bas”, une phrase célèbre dans cette pratique.

6ème symbole du triangle : le marquage nazi

Le système de marquage des prisonniers mis en place par les nazis se basait sur l’utilisation de triangles inversés de différentes couleurs pour identifier les prisonniers politiques, les Juifs, les Tziganes et les homosexuels. Il est également important de noter que la disposition des trois clous utilisés pour fixer Jésus sur la croix forme une figure en triangle inversé.

7ème symbolique du triangle en Franc-maçonnerie

La géométrie étant un outil fondamental pour la franc-maçonnerie, le triangle y joue un rôle important en tant que symbole de réconciliation entre la dualité et l’unité. Il représente la synthèse de ce qui est opposé et constitue pour les francs-maçons la représentation intelligible de la structure cosmique. Il évoque notamment le chiffre 3, l’équerre, le niveau, les trois maîtres qui dirigent les travaux, ainsi que le Grand Architecte de l’Univers. Le triangle maçonnique est également considéré comme l’équivalent de la croix chrétienne, qui est obtenue en reliant les extrémités des branches latérales et supérieure de cette dernière.

8ème symbole du triangle en Egypte ancienne

Dans l’ésotérisme égyptien antique, le triangle joue un rôle central. Il représente la liaison entre le ciel et la terre, en évoquant la forme pyramidale. Il est également associé à la trinité du mythe d’Isis, Osiris et Horus.

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