Le nombre d’or est considéré comme une théorie esthétique et est justifié par des arguments mystiques. Il est présenté comme une clé importante pour comprendre les structures du monde physique, en particulier pour les critères de beauté et d’harmonie. Il est prétendu qu’il est présent dans les sciences de la nature et de la vie, comme les proportions du corps humain, et dans les arts tels que la peinture, l’architecture ou la musique. Certains artistes, comme le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry, ont adhéré à une partie de cette vision, soutenue par des livres populaires. Cependant, la science a infirmé ces théories car elles reposent sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes, notamment dans les domaines de la médecine, l’archéologie, les sciences de la nature et de la vie.

Proportion du nombre d’or

Le nombre d’or est une proportion géométrique définie par le rapport entre deux longueurs a et b, où le rapport de (a + b) sur a est égal au rapport de a sur b, ou a/b = (a + b)/a. Il peut être représenté graphiquement en utilisant les propriétés des triangles similaires. Euclide l’a appelé “extrême et moyenne raison” et cela signifie que la droite est coupée en proportion d’or quand la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit. Le rapport a/b est indépendant des valeurs de a et b, si ces deux nombres sont en proportion d’extrême et de moyenne raison. Le nombre d’or est noté φ et sa valeur approximative est 1,6180339887. Il est également défini comme la solution positive unique de l’équation x² – x – 1 = 0. Les puissances de φ, quel que soit leur exposant, peuvent être écrites sous la forme φn = an + bnφ, où an et bn sont des entiers relatifs qui suivent une suite particulière.

Rectangle et spirale du nombre d’or

Il est possible de dessiner une proportion d’extrême et de moyenne raison à l’aide d’une règle et d’un compas. La méthode consiste à dessiner un cercle de rayon 1, puis un segment perpendiculaire de longueur 1/2, et enfin un cercle de rayon 1/2. Le segment reliant les deux centres des cercles est de longueur φ. Cela permet de construire un “rectangle d’or”, c’est-à-dire un rectangle dont la longueur et la largeur sont en proportion d’extrême et de moyenne raison. Il est également possible de dessiner un rectangle d’or en utilisant un carré de côté b, en traçant un cercle passant par les deux sommets opposés, et en prenant l’intersection avec la droite prolongée comme base. En mettant côte à côte deux rectangles identiques, un en format paysage et l’autre en format portrait, on peut dessiner les contours d’un nouveau rectangle. En retirant un carré de côté b d’un rectangle d’or, il reste un rectangle de longueur b et de largeur a-b, qui est également d’or. Il est possible de répéter ce processus indéfiniment, en dessinant un quart de cercle sur chaque carré pour obtenir une spirale d’or, dont l’équation polaire est: r(θ) = r φ^(2θ/π).

Le nombre d’or est une proportion définie initialement en géométrie comme le rapport unique entre deux longueurs a et b, tel que le rapport de la somme des deux longueurs sur la plus grande soit égal à celui de la plus grande sur la plus petite. Il est lié à l’angle d’or, à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(√5) et est utilisé dans des constructions comme le pentagone régulier. Il est également observé dans la nature et dans certaines œuvres et monuments artistiques. Il est souvent utilisé en tant que théorie esthétique pour comprendre les structures du monde physique, en particulier en termes de beauté et d’harmonie. Il est possible de construire un rectangle d’or en utilisant une règle et un compas, ou en utilisant une spirale logarithmique appelée spirale d’or. Il peut également être utilisé pour dessiner des figures comme l’œuf d’or.

Le nombre d’or, le pentagone et le pentagramme

Le pentagone régulier peut être construit en utilisant la proportion d’or. Cela consiste à tracer un cercle de rayon a, puis à trouver un nombre b plus petit que a qui est en proportion d’or avec a. En ensuite en utilisant ces deux valeurs pour tracer deux cercles supplémentaires de rayons a+b et b, les points d’intersection de ces cercles avec le cercle principal définissent les cinq points d’un pentagone. La figure formée par les diagonales de ce pentagone, appelée pentagramme, contient également des proportions d’extrêmes et moyennes raisons. Ces proportions peuvent être exprimées à l’aide de triangles isocèles en proportion d’or, appelés triangles d’or, qui peuvent être utilisés pour paver un plan euclidien de manière non périodique dans un pavage de Penrose.

L’approche arithmétique du nombre d’or a été initialement bloquée par le préjugé pythagoricien qui voulait que tout nombre soit rationnel. Les premières preuves de son caractère irrationnel ont probablement été découvertes au VIe siècle av. J.-C. et les mathématiciens grecs ont découvert des algorithmes pour en approximer la valeur. Plus tard, Héron d’Alexandrie a poussé cette démarche plus loin en utilisant les tables trigonométriques de Ptolémée.

Le texte décrit comment le nombre d’or, une proportion géométrique, a été défini par Euclide dans son livre “Les Éléments” et comment il est lié aux problèmes géométriques déjà résolus par les Pythagoriciens. Il est également mentionné que Platon aurait peut-être étudié le nombre d’or en tant que sujet en soi. Certains historiens croient que l’histoire du nombre d’or a commencé lorsque cette valeur a été étudiée de manière spécifique, tandis que d’autres pensent qu’il suffit de déterminer une figure géométrique contenant au moins une proportion calculée à l’aide du nombre d’or.

Le nombre d’or au Moyen-âge

Les mathématiques arabes ont apporté une nouvelle perspective sur le nombre d’or en mettant en avant ses propriétés mathématiques dans des équations du second degré, plutôt que ses propriétés géométriques. Les mathématiciens comme Al-Khawarizmi et Abu Kamil ont proposé des problèmes liés à la division de longueurs en utilisant le nombre d’or, mais n’ont pas explicitement fait le lien avec la proportion d’extrême et moyenne raison. Leonardo Pisano, connu sous le nom de Fibonacci, a introduit ces équations en Europe, en montrant clairement la relation entre ces nombres et la proportion d’Euclide. Cependant, il n’a pas fait le lien avec le nombre d’or. Enfin, en 1260, Campanus a démontré l’irrationalité de ce nombre à travers une descente infinie qui peut être visualisée dans la spirale d’or.

Le nombre d’or à la Renaissance

Le nombre d’or est considéré comme ayant une origine ancienne par les historiens, mais l’absence de documents concrets empêche une connaissance certaine de ses origines. Il a été étudié par les Pythagoriciens pour sa relation avec le pentagone, l’icosaèdre et le dodécaèdre régulier. Les mathématiques arabes ont apporté une perspective différente sur ce nombre en le considérant comme une solution d’équations du second degré. Luca Pacioli, à la fin du xve siècle, a écrit un livre intitulé La divine proportion, dans lequel il a traité le nombre d’or en se concentrant sur ses propriétés mystiques plutôt que mathématiques.

Le livre de Luca Pacioli intitulé “La divine proportion” met en avant l’aspect mystique du nombre d’or plutôt que ses propriétés mathématiques. Il présente l’incommensurabilité de ce nombre comme étant similaire à celle de Dieu, qui ne peut être défini ou compris par les mots. Pacioli encourage les amateurs de philosophie, de perspective, de peinture, de sculpture, d’architecture, de musique et d’autres disciplines mathématiques à étudier cette proportion secrète et admirable. Cependant, il ne détaille pas comment cette proportion s’applique dans les domaines pratiques, et se concentre sur les proportions de Vitruve, qui correspondent à des fractions d’entiers, choisies pour ressembler au corps humain. Les architectes de la Renaissance n’ont pas utilisé cette proportion dans leurs constructions.

Les mathématiciens de l’époque ont étudié la relation entre le nombre d’or et les équations polynomiales. Gerolamo Cardano et Raphaël Bombelli ont montré comment calculer le nombre d’or à l’aide d’équations de second degré. Une note manuscrite datant du début du xvie siècle a révélé la connaissance de la relation entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Ce résultat a été plus tard redécouvert par Johannes Kepler et Albert Girard. Kepler était fasciné par le nombre d’or qu’il considérait comme l’un des deux grands trésors de la géométrie, l’autre étant le théorème de Pythagore.