Un icosaèdre est un solide à trois dimensions faisant partie des polyèdres et comportant 20 faces.
Le terme provient du grec “icos” signifiant “vingt”.
Il existe divers types d’icosaèdres tels que l’icosaèdre régulier convexe, l’icosaèdre rhombique, le pseudo-icosaèdre, le grand icosaèdre et les solides de Johnson.
Dans Timée, Platon a relié les cinq polyèdres réguliers convexes à des éléments de l’univers.
Il a considéré l’icosaèdre comme représentatif de l’eau en raison de sa grande stabilité due à son nombre élevé de faces et de sommets par rapport aux autres quatre polyèdres.
L’Icosaèdre, 5ème des 5 solides de Platon, son histoire, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits
Qu’est-ce qu’un icosaèdre ?
En géométrie, un icosaèdre est un solide à trois dimensions appartenant à la famille des polyèdres. Il comporte exactement vingt faces. Le nom icosaèdre vient du grec “icos” qui signifie vingt. Il y a plusieurs types différents d’icosaèdre comme l’icosaèdre régulier convexe, l’icosaèdre rhombique, le pseudo-icosaèdre, le grand icosaèdre et des solides de Johnson.
Histoire de l’icosaèdre
Dans son œuvre intitulée Timée, Platon a associé les cinq polyèdres réguliers convexes à différents éléments de l’univers. Il a attribué l’icosaèdre à l’eau, en raison de son grand nombre de faces et de sommets qui en font le plus stable parmi les quatre autres. Il a également remarqué que pour créer un élément d’eau, il fallait combiner deux et demi d’éléments d’air, et que cet élément pouvait être détruit par le feu en créant cinq éléments de feu. Platon a également considéré que des matériaux comme l’or, le diamant et l’airain font partie de cet élément. Il y a également un icosaèdre trouvé dans une tombe romaine à Aléria en Corse qui peut être vu au musée d’Aléria.
Quelle est la géométrie de l’icosaèdre régulier convexe ?
L’icosaèdre est un solide de dimension 3 appartenant à la famille des polyèdres, et qui possède exactement vingt faces. Il est considéré comme étant régulier convexe car toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques et tous ses sommets ont le même nombre d’arêtes. Son symbole de Schläfli est {3,5}.
L’ensemble des sommets de cet icosaèdre reliés par ses arêtes forme un graphe appelé graphe icosaédrique. Le groupe des rotations de l’icosaèdre, qui permet de permuter certaines faces tout en le laissant globalement inchangé, comporte 60 éléments et est isomorphe au groupe alterné A5. Il est en correspondance avec le dodécaèdre régulier qui a les mêmes propriétés de rotations, et est considéré comme son dual.
Un icosaèdre peut être construit en collant ensemble 20 triangles équilatéraux de même dimension. Le processus commence par fixer 5 triangles ensemble par leurs arêtes, de manière à créer une structure en forme de bol avec une pointe en bas. Ce bol est formé d’un sommet partagé par les 5 triangles, avec un bord en pentagone régulier. On ajoute ensuite 5 triangles supplémentaires aux côtés du bol, chacun en se plaçant sur un segment différent, de sorte que le côté supérieur de chaque triangle du bol devienne également le côté inférieur de l’un des triangles ajoutés. On redresse ensuite les 5 triangles supérieurs pour qu’ils soient droits, créant ainsi une structure en forme de bol plus grande, composée de 10 triangles et avec une partie supérieure en forme de dents.
En utilisant 20 triangles équilatéraux on peut construire deux formes identiques qui s’emboîtent parfaitement pour créer un polyèdre régulier. Il est présenté sur une figure, où le bol inférieur est de couleur bleue avec une calotte inférieure et cinq dents, dont trois sont visibles pour un observateur et deux cachées. Le bol supérieur, de couleur rouge sur la même figure possède la même géométrie. Il suffit de placer la calotte en haut et 2 dents en face pour les emboîter ensemble.
Il est possible de construire un icosaèdre à l’aide d’un patron spécifique. Pour ce faire, il suffit de coller les côtés libres des triangles jaunes et oranges ensemble, puis d’assembler les triangles rouges qui sont connectés à eux, jusqu’à ce que les sommets des triangles rouges se rejoignent en un seul point. Il existe de nombreux patrons différents pour construire un icosaèdre, au total 43 3803. Alexandre Grothendieck, lors de sa carrière à l’Université de Montpellier, a proposé un examen de réflexion à ses étudiants où ils devaient construire un icosaèdre en papier et a attribué d’excellentes notes à tous, ce qui a suscité la controverse parmi ses collègues.
Propriétés de l’icosaèdre
Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces, 12 sommets, et 30 arêtes. Il a 1 sommet en bas, et 5 sommets chacun sur la base inférieure et la base supérieure des dents qui sont décrits dans la première construction. Chaque sommet de l’icosaèdre est relié à 5 arêtes, donnant un total de 60 arêtes, mais en raison de la relation de chaque arête avec 2 sommets, le nombre d’arêtes est divisé par 2 pour arriver au résultat final de 30.
Un polyèdre possède des segments les plus grands qui ont tous leurs deux extrémités reliées aux sommets du polyèdre. Il y en a 6, et l’intersection de ces segments est un point appelé le centre du polyèdre. Ce point est également le centre de gravité du solide. Il existe également 10 segments qui ont leurs deux extrémités sur la surface du polyèdre, passant par le centre et ayant la longueur minimale. Les extrémités de ces segments sont les centres de deux faces opposées qui sont parallèles entre elles.
Ces remarques géométriques permettent de définir les sphères circonscrite et inscrite du solide. La sphère circonscrite est celle qui a le plus petit rayon et contient l’intérieur du polyèdre, tandis que la sphère inscrite est celle qui a le plus grand rayon et est contenue dans l’intérieur du solide, cela généralise les définitions de cercle circonscrit et inscrit.
La figure 4 montre qu’un cube contient tous les éléments structurels d’un polyèdre régulier. Chacune de ses faces comprend deux sommets et une arête du polyèdre, avec 6 faces totales, il contient également les 12 sommets. La structure de ce polyèdre est régulière car toutes les arêtes ont la même longueur, les angles formés par deux arêtes d’une même face et partageant un même sommet sont égaux à 60 degrés ou π/3 en radian. Il est aussi constante le nombre d’arêtes qui partagent un même sommet, quelque soit le sommet choisi. Il s’agit d’un polyèdre régulier. Cela signifie qu’un segment ayant ses deux extrémités à l’intérieur du solide est intégralement à l’intérieur de ce solide, rendant ainsi l’icosaèdre convexe. Il est également remarquable qu’un élastique qui entoure le solide le touche en chaque point, c’est équivalent à ce qui est mentionné précédemment. Il est important de noter que les polyèdres réguliers ne sont pas toujours convexes et les polyèdres réguliers convexes sont appelés solides de Platon.
Symétrie de l’icosaèdre
Les isométries affines laissent un polyèdre globalement inchangé lorsque l’image du solide obtenue par l’isométrie occupe exactement la même position que l’original. Les sommets, les arêtes et les faces peuvent être permutés, mais la position globale reste la même. Le déterminant d’une isométrie vaut soit 1 soit -1. Toutes les isométries d’un polyèdre fixent son centre. Les isométries dont le déterminant est égal à 1 (ou déplacements), appelées les “symétries propres” du polyèdre, sont des rotations et celles dont le déterminant est égal à -1, appelées les “symétries impropres” sont les composées d’une symétrie propre (s’il en existe) et ces rotations.
L’axe d’une rotation d’un polyèdre doit passer par le centre du polyèdre et peut passer soit par un sommet, soit par le milieu d’une arête, soit par le milieu d’une face. Si on étudie les rotations d’angle non nul dont l’axe contient le centre d’une arête, une telle rotation échange les deux sommets de l’arête, donc il s’agit d’un demi-tour. Sur la figure 5, les sommets de l’icosaèdre sont regroupés dans des plans perpendiculaires à l’axe de rotation, mettant en évidence cinq ensembles : les deux extrêmes qui sont composés de deux points formant les arêtes qui délimitent le solide et qui croisent en leur milieu l’axe étudié, deux ensembles de deux points qui se trouvent sur deux droites perpendiculaires à la fois aux segments bleus et à l’axe de rotation, et enfin quatre points au milieu du polyèdre formant un rectangle. Ces cinq figures sont invariantes par une rotation d’un demi-tour, il existe donc une rotation d’un demi-tour pour chaque paire d’arêtes opposées, pour un total de 15 rotations d’un demi-tour, comme il y a 30 arêtes.
On peut regrouper les 15 demi-tours en groupes de trois en utilisant des rotations d’axes perpendiculaires qui commutent. La figure 6 montre une rotation dont l’axe passe par le centre de deux faces opposées. Cette rotation échange les trois sommets de chaque face, donc c’est un tiers de tour. En utilisant la même technique, on peut regrouper les sommets en quatre ensembles. Les deux ensembles extrêmes sont des faces, qui sont des triangles équilatéraux de même taille, mais pivotés de demi-tour l’un par rapport à l’autre. Les deux ensembles centraux, en violet sur la figure, sont aussi des triangles équilatéraux, plus grands. Pour faire coïncider deux triangles situés côte à côte, il faut faire une rotation d’un demi-tour.
Il y a 20 rotations d’un tiers de tour, deux par paire de faces, dans le solide décrit. La figure 7 montre une rotation dont l’axe passe par deux sommets opposés. Cette rotation échange les cinq arêtes passant par chaque sommet, donc c’est un multiple d’un cinquième de tour. En utilisant la même technique, les sommets peuvent être regroupés en quatre ensembles. Les deux ensembles extrêmes sont des points uniques, et les deux ensembles les plus proches du centre forment chacun un pentagone régulier. Les deux pentagones sont de même taille mais sont décalés d’un demi-tour. Il existe 4 rotations d’axes passant par deux sommets qui laissent globalement le solide inchangé, en ignorant la rotation d’angle nul. Il y a 12 sommets et 6 axes contenant deux sommets opposés, donc il existe 24 rotations de cette nature.
Les illustrations précédentes ont montré que la symétrie centrale laisse le solide globalement inchangé. En outre, toute roto-inversion d’angle α (une rotation d’angle α suivie d’une symétrie de centre un point de l’axe) est équivalente à une antirotation d’angle α + π (une rotation d’angle α + π suivie d’une réflexion par rapport à un plan perpendiculaire à l’axe). Cela signifie qu’une roto-inversion avec un angle α = π est équivalent à une réflexion.
Quelles sont les figures remarquables de l’icosaèdre ?
Les symétries d’ordre 3 et 5 introduisent des figures géométriques planes liées à ces symétries. Lorsqu’on parle de symétrie plane d’ordre 3, cela fait référence au groupe de symétrie formé par le triangle équilatéral. Ces symétries peuvent être observées dans l’icosaèdre en construisant des triangles équilatéraux avec les différents sommets du solide. Chaque axe qui traverse le centre de deux faces opposées contient 4 de ces triangles équilatéraux, dont 2 qui forment des faces, et les 2 autres ont un côté proportionnel à l’extrême et moyenne raison par rapport à une arête du polyèdre. Il y a 12 petits triangles équilatéraux et autant de grands pour chaque paire de faces.
Le nombre d’or est lié à une rotation d’ordre 5 et à la proportion des dimensions d’un pentagone. Pour chaque axe reliant deux sommets opposés, on peut observer deux pentagones dont les plans sont orthogonaux à l’axe. Chacun des sommets du pentagone est également un sommet de deux triangles d’or de géométries différentes. Les triangles d’or sont isocèles et ont des côtés en proportion d’extrême et de moyenne raison. Il existe deux types de triangles d’or : ceux ayant deux grands côtés (gris sur la figure 8) et ceux ayant deux petits côtés (jaunes). Les sommets de chaque pentagone sont adjacents à deux côtés égaux d’un triangle d’or de chaque type. Il y a 2 pentagones, soit 10 sommets et 20 triangles d’or. Il existe 6 axes différents passant par deux sommets opposés, pour un total de 120 triangles d’or.
On peut également trouver des rectangles d’or, c’est-à-dire des rectangles dont les longueurs et les largeurs ont un rapport égal au nombre d’or. Il y a exactement 1 rectangle d’or par côté du pentagone, avec un second côté se trouvant sur l’autre pentagone. On peut voir un exemple en vert sur la figure 8. Il existe 5 paires d’arêtes de cette nature pour chaque couple de pentagones, ce qui donne un total de 30 rectangles d’or.
Qu’est-ce qu’un polyèdre dual ?
Il est possible de construire un nouveau polyèdre en utilisant comme sommets les centres des faces d’un polyèdre régulier initial. Ce nouveau polyèdre est appelé le dual du polyèdre initial, et il est également un solide de Platon. Par exemple, si on prend un icosaèdre, le dual en possède 20 sommets et chaque face est un pentagone régulier car chaque sommet est partagé par 5 arêtes, créant ainsi un dodécaèdre régulier convexe. Inversement, le dual d’un dodécaèdre est un polyèdre régulier convexe à 12 sommets, avec des faces en triangles équilatéraux, qui est reconnu comme étant l’icosaèdre. Cette propriété est valable pour tous les polyèdres, car le dual du dual d’un polyèdre est une homothétie du solide initial.
Il est à noter que les symétries qui laissent globalement inchangé un icosaèdre, laissent également inchangé l’ensemble des milieux des faces de celui-ci, ce qui entraîne que toute symétrie de l’icosaèdre est aussi une symétrie du dodécaèdre. De même, toute symétrie du dodécaèdre est aussi une symétrie de l’icosaèdre. Les deux ensembles d’isométries, associés aux deux polyèdres duals sont donc identiques, ici le terme de symétrie est utilisé pour décrire une isométrie.
Symboles et bienfaits de l’icosaèdre
L’icosaèdre est le 5eme solide de Platon : il contient 12 sommets, 30 arêtes et 20 faces en triangles équilatéraux parfaitement identiques. Ce 3e solide est associé à l’élément de l’eau et au chakra Svadhisthana ou chakra sacré situé à 3 doigts en dessous du nombril. Sa puissante énergétique permet d’apaiser les démons intérieurs et de favoriser la clarté d’esprit.
L’icosaèdre est le siège de la stabilité, de la gestion émotionnelle et de la conscience sociale. Cette figure de Platon est aussi liée à la sexualité, au plaisir et à la joie de vivre.
L’icosaèdre est rattaché à la couleur orange et les pierres précieuses et naturelles comme la calcite orange, l’ambre, l’opale de feu, la pierre du soleil ou la cornaline.
Cette figure détient des propriétés tranquillisantes. Elle apaise les peurs, les doutes et lève les séquelles de traumatismes anciens. Elle améliore la faculté de mémorisation et de communication.
il représente l’élément Eau et travaille sur le 5ᵉ chakra. Il a 12 sommets et 30 arêtes et possède 20 faces qui sont des triangles équilatéraux.
À l’image de l’eau en mouvement, il permet de débloquer des situations en travaillant sur les émotions. Il invite à la joie et permet aux énergies de circuler librement dans le corps.
Son onde de forme est une sorte d’antenne émettrice et réceptrice qui permet de mieux transmettre les informations, amplifie les énergies subtiles et offre un accès plus facile à notre subconscient et à nos capacités de télépathie.
Placé dans une maison, il simplifie les relations entre les habitants et améliore l’harmonie familiale.
Il est idéal en cas d’instabilité émotionnelle, de grande émotivité, de timidité, de troubles sexuels, de mémoire en lien avec la sexualité, de troubles de l’appétit, de peurs irrationnelles, de traumatismes passés.
