L’ellipse est une courbe plane fermée qui résulte de l’intersection d’un cône ou cylindre avec un plan coupant l’axe de rotation.
Elle appartient à la famille des coniques ayant une excentricité entre 0 et 1.
Les points formant l’ellipse ont une somme de distances aux foyers constante.
En vue de perspective, l’ellipse apparaît comme un cercle vu de biais ou l’ombre d’un disque sur une surface plane.
En astronomie, les ellipses sont utilisées pour représenter les orbites des corps célestes, telles que l’orbite elliptique de la Terre autour du Soleil.
L’Ellipse, son origine, sa représentation, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits
Qu’est-ce qu’une ellipse ?
L’ellipse est une courbe fermée plane obtenue par l’intersection d’un cône ou cylindre avec un plan qui coupe l’axe de rotation. C’est une conique avec une excentricité comprise entre 0 et 1. Elle peut être décrite comme le lieu des points dont la somme des distances aux foyers est constante. En perspective, l’ellipse apparaît comme la forme d’un cercle vu de biais ou l’ombre d’un disque sur une surface plane. En astronomie, les ellipses sont utilisées pour représenter les orbites des corps célestes. La Terre suit une ellipse orbitale autour du Soleil. Certaines définitions peuvent mener à des ellipses dégénérées telles qu’un point, un segment ou un cercle.
Section du cône
L’ellipse est une courbe plane appartenant aux coniques, qui se forme par l’intersection d’un cône de révolution et d’un plan qui traverse le cône. Le cercle peut être considéré comme une ellipse spéciale si le plan de coupe est perpendiculaire à l’axe du cône, sans atteindre son sommet.
Foyer, droite directrice et excentricité
L’ellipse est définie comme un ensemble de points sur un plan affiné, qui sont proportionnellement à la distance du foyer et à la distance du point à la droite directrice. Elle est déterminée par le foyer, la droite directrice et l’excentricité. La droite reliant le foyer à la projection orthogonale sur la droite directrice est l’axe focal et les points d’intersection avec l’ellipse sont les sommets. La médiatrice du segment formé par les sommets est le petit axe de symétrie de l’ellipse. L’ellipse peut aussi être déterminée par la position de ses foyers ou de ses droites directrices et son excentricité. En géométrie euclidienne, l’ellipse exclut le cercle, le segment de droite et le point.
Ellipse, quelle est sa définition bifocale ?
L’ellipse est l’ensemble de points du plan où la somme des distances à deux points appelés foyers F et F’ est constante et égale à la longueur du grand axe 2a. La longueur du petit axe 2b est perpendiculaire au grand axe et la distance entre les foyers est 2c. Si les deux foyers se rejoignent, l’ellipse devient un cercle, et si 2a = 2c, elle devient un segment de droite. Le théorème de Dandelin montre que la section d’un cône ou d’un cylindre par un plan peut également produire une ellipse, déterminée par les points de tangence de sphères inscrites dans la surface de révolution.
Le cercle par son affinité
L’ellipse de centre O, de demi-grand axe a et de demi-petit axe b est obtenue par l’image du cercle principal (C2), de centre O et de rayon a, par une affinité d’axe (xx’) perpendiculaire à (xx’) et de rapport b/a. Pour construire un point M de l’ellipse, on relie les points M1 et M2 du petit cercle (C1) et du grand cercle (C2), situés sur la même droite [OM2], à O par des droites parallèles et perpendiculaires à (xx’), et on prend leur intersection M. Le rapport de l’affinité détermine si l’ellipse est un cercle ou un segment. L’angle de tangence AOM1 = AOM2 entre les cercles et l’ellipse est appelé anomalie excentrique et peut être utilisé en tant que paramètre simple dans une équation paramétrique de l’ellipse.
Représentation en image de l’ellipse
L’ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances aux deux points fixes appelés foyers est constante
Construction d’une ellipse à l’aide de deux foyers et d’une corde de longueur fixe
En construisant une ellipse en tant qu’hypotrochoïde, le point rouge décrit une ellipse lorsque le cercle noir tourne à l’intérieur du cercle bleu
Construction d’une ellipse par un cercle directeur
Soient F et F’ deux points distincts et (C) un cercle de centre F’ et de rayon 2a (2a > FF’). On désigne par ellipse de cercle directeur (C) et de foyer F, l’ensemble des centres de cercles tangents à l’intérieur de (C) et passant par F. Pour construire un point M sur l’ellipse, qui sera le centre d’un cercle tangent à (C) en m, on trace la médiatrice du segment [Fm]. Cette médiatrice rencontre le rayon [F’m] en M, qui est le centre du cercle tangent, et est également une tangente en M de l’ellipse. On peut aussi obtenir l’ellipse en pliant une feuille de papier avec le cercle directeur et le foyer F dessinés dessus, de manière à superposer un point du cercle avec le foyer F. Les pliures obtenues dessinent alors le faisceau des tangentes à l’ellipse.
L’ellipse est symétrique par rapport au segment [FF’]. Elle a donc un autre cercle directeur de centre F et de rayon 2a. Lorsque F et F’ sont confondus, cela permet de tracer un cercle de centre F et de rayon a. Si le rayon du cercle directeur est égal à la distance FF’, la construction donne le segment [FF’]. Lorsque m est à F, les centres des cercles tangents intérieurement à (C) décrivent le segment [FF’]. Si m est distinct de F, le seul cercle tangent à (C) passant par F est (C) lui-même, dont le centre est F’.
Il est également à noter que le foyer F projette orthogonalement sur la tangente en M un point m’ appartenant au cercle principal de l’ellipse (cercle de centre O et de rayon a). Plus précisément, les projections de F sur les tangentes à l’ellipse forment le cercle principal de l’ellipse. Ce qui fait du cercle principal la podaire de l’ellipse par rapport à son foyer, et de l’ellipse l’anti-podaire du cercle principal par rapport au foyer.
L’ellipse par l’hypotrochoïde
Si on fait rouler sans glissement un cercle de centre O’ de rayon R à l’intérieur d’un cercle de centre O et de rayon 2R, le lieu parcouru par un point M, solidaire du petit cercle, situé à une distance d du centre O’ parcourt une ellipse. Son centre est O, ses demi-axes sont R + d et |R – d|. L’ellipse est donc un cas particulier d’hypotrochoïde.
Quelles sont les propriétés géométriques de l’ellipse ?
Les éléments de symétrie de l’ellipse
Les axes de symétrie de l’ellipse sont “l’axe focal” ou “axe principal”, qui passe par les foyers et est perpendiculaire aux directrices, et “l’axe secondaire”, perpendiculaire à l’axe focal et passant par le centre de l’ellipse. Le centre de l’ellipse est aussi un centre de symétrie et l’intersection des deux axes. Les points de l’ellipse qui se situent sur l’axe focal sont appelés sommets principaux et ceux sur l’axe secondaire sont les sommets secondaires. Le “grand axe” qui relie les sommets principaux en passant par le centre est également appelé “petit axe”. La longueur de ces axes peut être mesurée en utilisant une unité de longueur choisie.
Bissectrice et tangentes
La propriété de réflexivité d’une ellipse, avec les foyers F et F’, est que la bissectrice du secteur angulaire (FMF’) est perpendiculaire à la tangente en un point M sur l’ellipse. Elle est utilisée dans divers domaines, tels que l’optique géométrique pour la construction de miroirs elliptiques et réflecteurs de phare, l’acoustique pour les pièces en forme d’ellipse pour une meilleure réception sonore, et l’urologie pour les lithotriteurs extra-corporels. La propriété est due à la convergence spatiale et temporelle des signaux, assurant une phase en phase et une concentration d’énergie pour une meilleure réception. On peut voir cette propriété dans des structures comme la rotonde du Capital Building à Washington et le Mormon Tabernacle à Salt Lake City.
Significations et symboles de l’ellipse à travers les cultures
Le troisième œil (également appelé œil de la Providence ou œil divin) symbolise l’œil de la conscience, de l’âme, du cœur et de la connaissance. Il représente l’unité, la réconciliation des contraires et un lien décisif entre l’homme et ce qui le transcende, c’est-à-dire l’union de la transcendance et de l’immanence. Une bouche ouverte symbolisant l’émerveillement, la surprise ou la stupeur. L’œuf du monde, représentation symbolique du cosmos en tant que germe, centre et totalité.
La féminité est symbolisée par une ellipse, représentant le sexe féminin en tant qu’origine mystérieuse du monde. Cela représente une source fertile, la nature et les cycles. Le zéro est représenté par une ellipse, symbolisant le chiffre 0, représentant le vide, l’infini et la réalisation. Le zéro englobe tout et rien, l’éternité et le néant.
L’Ellipse : symbole du mouvement
La dualité est la caractéristique qui distingue l’ellipse du cercle, car elle possède deux sommets et deux axes de symétrie. L’ellipse apparaît alors comme un intermédiaire entre le cercle (unité, infini, divin) et les formes différenciées telles que le carré (dualité, limité, terrestre).
Dans le Manifeste Jaune de Victor Vasarely, fondateur de l’op art, l’ellipse est définie comme “l’autre expression de l’unité cercle-plan”, soit cercle + espace + mouvement + durée, et équivalente au losange pour le carré. L’ellipse est donc considérée comme un cercle spécifique qui intègre le temps et l’espace, passant de l’abstrait au concret, de l’idée à la forme. Le cercle reste perceptible sans perdre son identité originelle. De manière similaire, l’ellipse peut être comparée au cylindre ou au cône par rapport à la sphère.
L’Ellipse : symbole de déformation
L’ellipse symbolise un mouvement qui fait déformer le cercle. Elle représente donc un cercle en mouvement, évoquant l’apparence de roues de voiture démarrant rapidement ou d’un ballon lancé. Soumise aux forces de la nature, aux éléments et aux cycles, l’ellipse est une forme circulaire flexible, associée à l’énergie, la vie, les ondulations, l’évolution et le progrès.
L’Ellipse ou la force spirituelle
L’ellipse renferme une force spirituelle insoupçonnée. Elle se situe entre le cercle et les formes différenciées, associant unité et dualité, esprit et matière, infini et fini. Elle joue un rôle de pont entre des pôles apparemment incompatibles et représente la sagesse. L’ellipse, qui peut être vue comme un cercle en perspective, est influencée par son environnement dans le temps et l’espace, mais conserve sa nature première de cercle.
