Le dodécaèdre régulier est un polyèdre en géométrie qui comporte 12 faces en pentagones réguliers, 30 arêtes et 20 sommets.
Il fait partie des 5 solides de Platon et est relié au symbole Schläfli {5,3}.
Il a une sphère circonscrite qui passe par ses 20 sommets et une sphère inscrite qui est tangente à ses 12 faces.
Il est appelé “dodécaèdre” en raison de son nombre de faces qui est 12 en grec ancien, et son polyèdre dual est l’icosaèdre régulier.
Il possède des propriétés géométriques spécifiques telles que le rayon de la sphère circonscrite, dépendant de la longueur d’arête, une aire, un volume, un angle dièdre et des coordonnées de sommets spécifiques, exprimées en termes de longueur d’arête et de nombre d’or.
Le dodécaèdre, 4ème des 5 solides de Platon, son histoire, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits
Qu’est-ce qu’un dodécaèdre ?
En géométrie, le dodécaèdre régulier est un polyèdre qui contient 12 faces en pentagones réguliers, 30 arêtes et 20 sommets. Il est l’un des 5 solides de Platon et est relié au symbole de Schläfli {5,3}. Il possède une sphère circonscrite qui passe par ses 20 sommets et une sphère inscrite qui est tangente à ses 12 faces. Le nom “dodécaèdre” provient de son nombre de faces, qui est 12 en grec ancien. Son polyèdre dual est l’icosaèdre régulier.
Le dodécaèdre régulier est un polyèdre à 12 faces, 30 arêtes et 20 sommets. Il est l’un des 5 solides de Platon et possède des propriétés géométriques spécifiques, telles que : un rayon de sphère circonscrite dépendant de la longueur d’arête, une aire, un volume, un angle dièdre, et des coordonnées de sommets spécifiques. Ces propriétés sont exprimées en termes de longueur d’arête et de nombre d’or.
Les propriétés géométriques spécifiques du dodécaèdre sont :
un rayon de sphère circonscrite qui dépend de la longueur d’arête, il est calculé en utilisant la formule : R = (√3)((1 + √5)/4)a = (√3/2)φa où φ est le nombre d’or
une aire qui est calculée en utilisant la formule: A = 3(√(25 + 10√5))a² = 3(√(5(3 + 4φ)))a²
un volume qui est calculé en utilisant la formule: V = (15 + 7√5)a³/4 = (4 + 7φ)a³/2
un angle dièdre entre deux faces qui est calculé en utilisant la formule: arccos(−1/√5) = arccot(−1/2) ≈ 116.565°
les coordonnées de sommets spécifiques qui sont (0, ±(1/φ), ±φ), (±(1/φ), ±φ, 0), (±φ, 0, ±(1/φ)), (±1, ±1, ±1) d’un dodécaèdre centré sur l’origine et d’arête a = (2/φ).
Toutes ces propriétés sont exprimées en termes de longueur d’arête et de nombre d’or.
Les symétries du dodécaèdre
Les propriétés géométriques spécifiques du dodécaèdre incluent : un rayon de sphère circonscrite qui dépend de la longueur d’arête, une aire, un volume, un angle dièdre, et des coordonnées de sommets spécifiques. Ces propriétés sont exprimées en termes de longueur d’arête et de nombre d’or. En plus, il est symétrique, possède des propriétés de rotations comme des rotations d’axes passant par 2 sommets opposés avec des angles 2π/3 ou 4π/3, des rotations d’axes passant par le centre de 2 faces opposées avec des angles 2π/5, 4π/5, 6π/5, ou 8π/5 , des rotations d’un angle π autour d’un axe passant par le milieu de 2 arêtes opposées, une symétrie centrale et des symétries par rapport à un plan passant par le centre et perpendiculaire à un des 15 axes . Ces propriétés forment un groupe d’isométries noté I_h qui contient 120 éléments.
Les propriétés diverses du dodécaèdre
Le dodécaèdre régulier et l’icosaèdre régulier ont une structure symétrique similaire, où le polyèdre formé par les centres des faces de l’un est similaire à l’autre. Le squelette du dodécaèdre régulier, qui consiste en ses sommets connectés par ses arêtes, forme un graphe connu sous le nom de graphe dodécaédrique.
Platon a associé le dodécaèdre à l’univers entier en raison de sa ressemblance avec une sphère. Aristote a également considéré le dodécaèdre comme un symbole de l’éther, qui est le cinquième élément de l’univers et qui contient tous les autres éléments. Le dodécaèdre possède cinq plans orthogonaux qui passent par son centre et qui sont des plans de symétrie.
Comment construire un dodécaèdre régulier ?
Prenez un pentagone régulier (F1), saisissez son centre (O) et sa longueur d’arête (a). Dans le plan formé par les points ABC, tracez la perpendiculaire de AB en passant par E et coupez la droite OA en H.
Dans un plan perpendiculaire au plan ABC et passant par OAH, tracez un cercle de centre A et de rayon a. Le point d’intersection entre ce cercle et la perpendiculaire tracée en H sont G. Les points E et G sont dans un même plan perpendiculaire à AB et à la même distance de AB. Effectuez une rotation d’axe AB pour transformer E en G pour obtenir F3. Obtenez F2 en effectuant la symétrie de F3 par rapport au plan OAG.
Utilisez la rotation R d’un angle de 1/5 de tour pour obtenir les faces suivantes F4, F5 et F6 en utilisant respectivement les rotations R2, R3 et R4 de F2. Utilisez la rotation S d’un angle de 1/5 de tour pour obtenir les faces F7, F8, F9, F10 et F11 en utilisant respectivement les rotations S, S2, S3 et S4 de F1, F3 et F4. La dernière face F12 sera obtenue en utilisant la rotation S sur l’arête qui n’a pas été utilisée dans les étapes précédentes.
Quelles sont les utilisations du dodécaèdre régulier ?
Le dodécaèdre régulier est utilisé dans plusieurs applications, comme un jeu de société divinatoire dénommé “dodechedron” décrit par le poète médiéval Jean de Meung. Il est également utilisé dans les casse-têtes en forme de dodécaèdre, tels que le Megaminx, qui est dérivé du Rubik’s cube. En outre, certains jeux de rôles sur table utilisent des dés à 12 faces en forme de dodécaèdre pour résoudre des actions.
Quelles sont les différents types de dodécaèdre ?
Il existe plusieurs formes de dodécaèdres qui possèdent des propriétés particulières en raison de leurs faces régulières ou de leurs symétries :
Le dodécaèdre régulier est le seul solide de Platon à avoir des faces pentagonales régulières.
Le grand dodécaèdre, le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre étoilé sont trois solides de Kepler-Poinsot.
Le dodécaèdre rhombique (de première espèce) et le dodécaèdre rhombique de seconde espèce (ou dodécaèdre de Bilinski) ont des faces toutes identiques qui sont des losanges (rhombes). Le rapport des longueurs des diagonales des losanges vaut √2 pour le premier et le nombre d’or pour le second.
Le triakitétraèdre est un solide de Catalan dont les faces sont des triangles isocèles.
Le disphénoïde adouci est un solide de Johnson à faces triangulaires équilatérales.
Le dodécaèdre trapézo-rhombique (en), à faces en losanges et trapèzes, permet un pavage de l’espace.
Le prisme décagonal et la coupole décagonale sont des solides de Johnson.
Symboles et bienfaits du dodécaèdre
Le dodécaèdre est le quatrième solide de Platon, qui se caractérise par la présence de 12 faces en pentagone régulier. Il est associé à l’élément éther ou l’univers. Cette forme est reliée à trois chakras, les chakras de la gorge, du 3e œil et coronal. Il est considéré comme le symbole de l’intuition et de la spiritualité. Il encourage la libération des pensées et des émotions, amplifie l’énergie spirituelle et favorise la pleine conscience. Il apporte un état de plénitude et d’harmonie entre le corps et l’esprit. Il est également lié à la stimulation des chakras et des flux énergétiques, et est associé aux couleurs bleu-indigo, violet et à des pierres précieuses comme la malachite, le lapis-lazuli, l’améthyste et le saphir. Il a une influence puissante sur la méditation, la recherche de la sérénité et de la paix intérieure et la spiritualité.
Le dodécaèdre est un solide platonicien, composé de douze faces en pentagones réguliers, 20 sommets et 30 arêtes. Il est associé à l’élément éther qui relie tout. Il est lié aux chakras sixième et septième. Il contient 375 fois le rapport d’Or. Sa forme émet une forte énergie dynamique et purifiante. Il est efficace pour purifier l’eau ou pour nettoyer les énergies indésirables d’une pièce et maintenir une harmonie énergétique. Dormir avec un dodécaèdre peut améliorer la qualité du sommeil, stimuler l’énergie vitale et ouvrir sur le plan spirituel. Il est également utilisé pour favoriser la méditation, agir sur l’aura, colmater les fuites énergétiques, aligner et dynamiser les chakras. Il peut stimuler les capacités intellectuelles pour les examens, la recherche et les projets. Il peut aider la régénération cellulaire et soutenir le corps et l’esprit lors d’un processus de guérison.
La géométrie parfaite “Ether” du dodécaèdre
Le dodécaèdre est un des cinq solides de Platon, un polyèdre régulier composé de 12 faces, 30 arêtes et 20 sommets. Il est considéré comme un symbole de perfection par Aristote et Léonard de Vinci qui l’ont étudié en profondeur. Il est considéré comme représentatif de toutes les formes, incluant l’icosaèdre, l’hexaèdre, le tétraèdre et l’octaèdre. Il est appelé “Ether” par Aristote en raison de sa représentation de toutes les formes de l’univers, symbolisant la perfection absolue et le cinquième élément. Cependant, le dodécaèdre n’est pas associé à la magie ou à la superstition. Il est établi scientifiquement qu’il émet des ondes de forme puissantes, qui peuvent harmoniser les vibrations d’un espace, réduire les ondes négatives et apaiser les tensions.
Le dodécaèdre ou l’équilibre des énergies
Le dodécaèdre rhombique est un outil utilisé depuis longtemps pour le bien-être. Il peut améliorer l’atmosphère de la pièce où il est placé et équilibrer les énergies entre les différents éléments. Il peut favoriser la communication, aider à combattre le stress et faciliter la relaxation. Il émet des ondes de forme puissantes qui agissent naturellement sans nécessiter d’interaction de votre part. Il peut être utile dans divers contextes, comme en voyage, à la maison, au bureau, ou dans des lieux stressants tels que les hôpitaux ou les salles d’attente.
Les vibrations positives du dodécaèdre
Le Dodécaèdre est recommandé de le placer dans une pièce de vie telle qu’une salle à manger pour améliorer l’harmonie de votre foyer. Il est idéal de le placer au centre de la pièce, avec l’une des faces du pentagone pointant vers le nord. Pour une bonne récupération pendant le sommeil, il est recommandé de placer un dodécaèdre en bois sur votre table de chevet. Il est déconseillé de placer un dodécaèdre en laiton sur votre table de chevet car sa portée importante pourrait avoir des effets contraires.
