En géométrie euclidienne, un cube est un solide plat ayant toutes ses faces carrées de même taille, il fait partie des cinq solides de Platon, qui ont 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Il est également connu sous le nom d’hexaèdre régulier et est un zonoèdre à trois générateurs.
Le cube est caractérisé par son symbole Schläfli {4,3}, qui signifie qu’il a 4 sommets par face et 3 faces par sommet.
Le mot “cube” vient du grec kubos qui signifie dé, et est également utilisé pour décrire un nombre qui a été multiplié par lui-même 2 fois, comme dans “3 cube” qui est égal à 3 x 3 x 3.
Le Cube ou Hexaèdre, 2ème des 5 solides de Platon, son histoire, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits
Qu’est-ce qu’un cube ou hexaèdre ?
En géométrie euclidienne, un cube est un solide plat ayant toutes ses faces carrées de même taille. Il fait partie des cinq solides de Platon, qui ont exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Il est également connu sous le nom d’hexaèdre régulier. Il est un zonoèdre à trois générateurs. Il est caractérisé par son symbole Schläfli {4,3}, qui indique qu’il a quatre sommets par face et trois faces par sommet.
Le mot “cube” vient du grec kubos, signifiant dé. Le terme est également utilisé pour décrire un nombre qui a été multiplié par lui-même deux fois, comme dans “3 cube” qui est égal à 3 x 3 x 3. Le 1-squelette du cube, qui est l’ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe appelé graphe hexaédrique.
Géométrie du Cube ou Hexaèdre
Le cube est un solide géométrique qui possède 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes. Il fait partie des cinq solides de Platon. Il a des propriétés particulières telles que : les arêtes ont toutes la même longueur, les faces opposées sont parallèles, les faces adjacentes sont perpendiculaires et tous les angles dièdres sont droits. En outre, les diagonales du cube se croisent en un seul point, le centre de symétrie. Il est également connu comme hexaèdre régulier et son symbole de Schläfli est {4,3}. La forme du cube est souvent utilisée dans la géométrie pour décrire les propriétés des nombres, comme le cube d’un nombre qui est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même, trois fois.
Le cube est un solide géométrique ayant six faces carrées qui sont égales et superposables. Il est également connu sous le nom d’hexaèdre régulier et fait partie des cinq solides de Platon. Il possède 8 sommets, 12 arêtes et sa longueur d’arête est égale à “a”. Son aire est de 6a^2, son volume de a^3, la longueur de ses diagonales est a√3. Il possède des propriétés géométriques telles que : sphère circonscrite, sphère tangente aux arêtes, sphère inscrite, angles dièdres droits et un centre de symétrie. L’expression “a cube” est utilisée en algèbre pour signifier la multiplication d’un nombre par lui-même deux fois.
Autres définitions possibles du Cube ou Hexaèdre
Les cubes sont des solides géométriques ayant six faces égales et superposables, chacune étant un carré. C’est l’un des cinq solides de Platon, ayant exactement 8 sommets et 12 arêtes. Il peut également être défini comme le seul polyèdre ayant des faces carrées ou comme un antidiamant d’ordre 3 avec des angles dièdres égaux et des sommets réguliers.
Groupe des isométries du Cube ou Hexaèdre
Le cube est un solide géométrique qui présente une grande variété de symétries. Il possède 3 axes de rotation d’ordre 4 qui passent par le centre de deux faces opposées, 6 axes de rotation d’ordre 2 qui passent par le milieu de deux arêtes opposées, 4 axes de rotation d’ordre 3 qui passent par deux sommets opposés, une symétrie centrale par rapport à son centre, et 9 plans de symétrie qui incluent les plans médiateurs des arêtes et les plans passant par deux arêtes opposées. Le groupe des isométries du cube, noté Oh, et le sous-groupe de ses isométries positives, noté O, sont également connus sous le nom de groupes de symétrie octaédrique, car ils sont similaires à ceux de son polyèdre dual, l’octaèdre régulier.
Il y a 48 isométries qui laissent le cube globalement inchangé, dont 24 rotations. Ces isométries peuvent être déterminées en prenant en compte l’image d’un sommet A et de deux de ses voisins, B et C, qui forment un repère de l’espace avec le centre du cube. Cela définit l’image de A’ parmi les 8 sommets du cube, l’image de B parmi les 3 voisins de A’ et l’image de C parmi les 2 voisins restants.
Le cube possède 24 rotations différentes qui peuvent être réparties en différentes catégories telles que l’application identité, des demi-tours et des tiers de tours. Ces rotations sont gouvernées par les groupes O et Oh qui sont isomorphes au groupe symétrique S4. En outre, les isométries négatives du cube sont les anti-rotations composées de ces rotations et la symétrie centrale. Ce groupe est connu comme le plus grand des 7 groupes orthogonaux de réseaux de dimension 3.
Le groupe des isométries négatives d’un cube est composé de 24 isométries, qui comprennent : la symétrie centrale, 3 symétries par rapport à un plan passant par le centre du cube et parallèle à une face, 6 composées des symétries précédentes avec un quart de tour d’axe perpendiculaire au plan de symétrie, 6 symétries par rapport à un plan passant par deux arêtes opposées, 8 composées d’un sixième de tour d’axe passant par deux sommets opposés avec la symétrie par rapport au plan passant par le centre du cube et perpendiculaire à cet axe, qui forme un hexagone régulier.
Le cube peut être décomposé en deux tétraèdres symétriques par rapport à la symétrie centrale. De ces 48 isométries du cube, 24 préservent l’invariance de chacun de ces tétraèdres, avec 12 rotations et 12 isométries indirectes. Ces 24 isométries permutent les quatre sommets du tétraèdre.
Les sections du Cube ou Hexaèdre
Un plan et un cube peuvent se rencontrer, et leur intersection peut dessiner : Un segment, lorsque le plan coupe un côté du cube, un quadrilatère, lorsque le plan coupe l’une des faces du cube, il peut s’agir d’un trapèze, d’un rectangle ou même d’un losange. Un triangle, lorsque le plan coupe un coin du cube, le cube n’ayant que six faces, il n’est pas possible d’obtenir de section ayant plus de 6 côtés.
Il est à noter qu’il est possible d’avoir un hexagone ou un pentagone, mais cela dépend de l’angle et la position du plan par rapport au cube, et il n’est pas garanti qu’il y aura des cotés parallèles.
En coupant un cube avec un plan, il est possible d’obtenir trois types de polygones réguliers: un triangle équilatéral en cas de coupe perpendiculaire à une diagonale avec une distance à l’extrémité inférieure à un tiers de la diagonale, un carré pour les coupe parallèle à une face ou une diagonale, ou un hexagone en cas de coupe avec le plan médiateur d’une diagonale. Il est impossible d’obtenir un pentagone régulier en coupant un cube avec un plan car la section aurait deux côtés parallèles qui ne se retrouve pas dans un pentagone régulier. Il est également impossible d’obtenir une section en forme de triangle rectangle ou trapèze rectangle non rectangle en coupant un cube.
Le Cube ou Hexaèdre et les autres polyèdres
Le cube et l’octaèdre régulier ont le même groupe d’isométries. Il est possible de placer un cube à l’intérieur d’un dodécaèdre régulier de manière à ce que les sommets du cube correspondent aux sommets du dodécaèdre et que les arêtes du cube forment des segments reliant deux sommets non consécutifs d’une face pentagonale du dodécaèdre, il y a cinq façons de faire cela. Il est également possible d’inscrire un cube dans un dodécaèdre rhombique où les sommets du cube correspondent aux sommets d’ordre 3 du dodécaèdre rhombique et les arêtes du cube correspondent aux diagonales des losanges.
Le Cube ou Hexaèdre et sa fascination
Dans la géométrie et la cosmologie grecque, le cube était considéré comme étant un solide important. Platon l’a classé comme le quatrième solide, celui qui a été construit à partir de triangles isocèles rectangles.
« Groupés par quatre avec leurs angles droits se rencontrant au centre, ces triangles isocèles forment un quadrangle. Six de ces quadrangles en s’accollant ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits et la figure obtenue est un cube (Timée, 54c – 55 d) »
Le cube est un solide platonicien associé à l’élément de la Terre pour sa stabilité. Il est considéré comme un symbole de la matière et des quatre éléments, souvent utilisé à la base des trônes. Il a également été associé à la planète Saturne dans la cosmologie de Kepler et utilisé comme symbole de perfection dans la franc-maçonnerie. Le cube est également connu pour être utilisé dans les films canadiens, les ordinateurs et les consoles de jeux, ainsi que le célèbre casse-tête Rubik’s Cube. Il est également présent dans l’art, comme dans le tableau “Melencolia” d’Albrecht Dürer et l’Atomium de Bruxelles, et est un des réseaux possibles en cristallographie pour différents matériaux comme l’argent, l’or et le cuivre.
Symboles et bienfaits du cube ou hexaèdre
Le hexaèdre est le deuxième solide platonicien, qui a une forme de cube avec six faces carrées. Il est associé à l’élément de la Terre et est lié au chakra racine (Muladhara) situé au bas de la colonne vertébrale. Il est considéré comme symbole d’ancrage, de stabilité et de maîtrise de soi. Il favorise l’harmonie entre la Terre et la mer. Il est considéré comme favorisant les capacités de raisonnement, l’attention et le contact avec la réalité. Il est associé à la couleur rouge et à certaines gemmes comme l’agate, l’aventurine, le grenat almandin ou la jaspe. Il est considéré comme permettant l’équilibre et le passage à l’action, et est également associé au cerveau gauche et au raisonnement rationnel et logique.
L’hexaèdre est un solide platonicien qui est considéré comme un symbole de la Terre et est lié au premier chakra. Il est composé de six faces carrées, huit sommets et douze arêtes. Il est le deuxième solide platonicien. Il est considéré comme renforçant les ancrages et les liens avec la réalité physique et concrète, comme le corps physique et l’habitation. Il est utile pour développer des fondations solides avant de s’aventurer vers d’autres horizons. Il est considéré comme le plus stable des cinq solides platoniciens. Il est utilisé pour apaiser les personnes stressées en posant sur leur photo car il disperse l’énergie vers le ciel. Il est particulièrement utile pour les personnes qui ressentent du stress, un manque de structure, un manque d’ancrage, un besoin de protection et de sécurité ou qui souffrent d’angoisses.
