Cercle

Le cercle, son origine, sa représentation, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits

Qu’est-ce qu’un cercle ?

Un cercle, en géométrie euclidienne, est une courbe plane fermée formée par des points équidistants d’un point central donné, nommé centre. Le rayon du cercle représente cette distance. Le terme « cercle » en français est associé au « rond » dans le plan euclidien. Cependant, si l’on considère un plan non euclidien ou une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de n’importe quelle dimension, la sphère est l’ensemble des points qui sont situés à une distance constante d’un point central.

D’autres formes peuvent être considérées comme « rondes » : des surfaces et des solides qui ont des sections planes qui sont des cercles, comme des cylindres, des cônes, des trous, des anneaux, et ainsi de suite.

L’utilisation du cercle

En tant qu’objet mathématique abstrait, le cercle offre une modélisation utile pour un grand nombre de phénomènes. Les objets manufacturés qui présentent une section circulaire, tels que des cylindres (rouleaux, roues, silos), des sphères (ballons, balles, billes) et des cônes (rouleaux, entonnoirs), peuvent ainsi bénéficier des propriétés du cercle.

Ces propriétés permettent notamment de déduire diverses informations sur ces objets, comme leur volume qui permet de calculer leur masse en connaissant leur masse volumique, ou encore leur contenance. En effet, les objets de section circulaire sont d’un intérêt certain pour plusieurs raisons principales.

• De nombreux phénomènes peuvent être modélisés par le cercle, objet mathématique abstrait. On peut ainsi déduire des propriétés intéressantes pour les objets manufacturés qui ont une section circulaire, tels que les cylindres (rouleaux, roues, silos), les sphères (ballons, balles, billes) ou les cônes (rouleaux, entonnoirs).
• Les objets de section circulaire sont particulièrement utiles pour des mouvements et des déplacements nécessitant peu d’efforts, tels que les roues ou les roulements mécaniques. Par ailleurs, tous les points d’un cercle sont à égale distance du centre, ce qui donne une notion d’hémicycle dans les amphithéâtres, où le son a le même volume pour tous les spectateurs sur un même banc.
• Cette égalité de distance a également des implications importantes en termes d’organisation du territoire et de logistique. En effet, si le déplacement se fait de la même manière dans toutes les directions, alors un cercle représente l’ensemble des points que l’on peut atteindre pour une durée de trajet ou une consommation d’énergie donnée à partir du centre. C’est ce que l’on appelle le rayon d’action et c’est un problème fondamental en géométrie.
• En soufflant du verre, on peut donner naturellement une forme arrondie à un objet. Le cercle est la courbe plane qui, pour une longueur donnée, a l’aire la plus grande, comme dans le cas du disque. Cette propriété est utilisée pour construire des objets tels que des silos ou des bouteilles cylindriques, qui ont la contenance la plus importante pour une quantité de matériau donnée. De même, une palissade circulaire permet de loger plus de personnes pour une quantité de bois ou de pierre donnée. Enfin, la défense en cercle est une stratégie militaire efficace permettant de se défendre avec le minimum de moyens face à une attaque venant de toutes parts.
• Un objet ayant une forme arrondie a une meilleure résistance mécanique, car il ne présente pas d’aspérité ni de concentration de contrainte. De plus, il a moins de risque de blesser en cas de choc avec une personne. Les projectiles ont également moins de chance de le frapper de face, ce qui réduit le risque de l’endommager. En optique, la propriété de perpendicularité des rayons qui traversent un cercle est utilisée pour construire des contre-miroirs sphériques et des lentilles.
• Enfin, un objet de section circulaire peut être fabriqué de différentes manières, comme par enroulement de fil ou par tournage. Si l’on place un objet dans un récipient circulaire, on impose sa position mais pas son orientation, ce qui peut permettre de gagner du temps lors de sa mise en position. C’est le principe du centrage pour la mise en position.

Certains éléments sont pris en compte par certains objets. Par exemple, la forme cylindrique d’un canon :

• facilite sa fabrication, notamment en ce qui concerne l’alésage ;
• confère une résistance mécanique accrue (résistance à la pression de l’explosion) ;
• permet une insertion aisée de la munition (pas besoin de la faire tourner autour de son axe) ;
• en ajoutant une hélice au canon, il est possible d’imprimer un mouvement de rotation lors du tir, stabilisant ainsi la trajectoire.

De même, si un objet possède une surface courbe, cette dernière peut être localement approchée par un cercle. Par conséquent, si les propriétés du cercle sont connues, les propriétés locales de l’objet le sont également. Cela a donné naissance aux concepts de cercle osculateur, de rayon de courbure et d’harmonique sphérique.

Lorsque des objets ou des personnes sont disposés en cercle, il est possible de les atteindre avec la même facilité depuis le centre, ainsi que de les observer de manière uniforme, ce qui peut faciliter leur surveillance. En outre, il est possible de les identifier en utilisant un seul paramètre, à savoir la direction. Cela explique notamment l’utilité des cadrans à aiguille. Ce concept a également permis le développement des coordonnées cylindriques et sphériques.

Le cercle euclidien, quant à lui, est très facile à tracer, car il suffit de disposer d’un objet dont les deux extrémités ont une distance constante. Une corde tendue ou une branche tordue, voire un compas, peuvent ainsi être utilisés pour tracer un cercle « parfait ». Cela en fait un outil d’étude privilégié en géométrie.

La notion d’ellipse peut être utile pour résoudre des problèmes et des formes plus complexes. Le cercle, quant à lui, est souvent utilisé pour représenter symboliquement des objets qui sont plus ou moins ronds, tels que des astres (planètes, lunes, étoiles) et leurs orbites (qui sont en réalité elliptiques), un orifice ou encore l’ovale d’un visage (comme la tête de Toto ou les smileys).

 

Sur le plan symbolique, le cercle représente plusieurs concepts, notamment une certaine forme de perfection due à sa symétrie et son absence d’aspérité. Selon Ronsard, rien n’est excellent dans ce monde s’il n’est rond, et depuis l’Antiquité grecque, la sphéricité est associée à la perfection et donc à la divinité. Pour Kepler, le cercle représente la sainte Trinité, avec le Père au centre, le Fils à la superficie et le Saint Esprit dans l’égalité de la relation du centre au pourtour. Même si le centre, la surface et l’intervalle sont manifestement trois, ils ne font qu’un, au point que l’on ne peut pas concevoir qu’il en manque un sans que le tout soit détruit.

Le cercle symbolise également un mouvement continu et infini, la notion de cycle et est l’une des représentations du recommencement, de la continuité, de l’éternité et du temps cyclique, avec la variante de la spirale. Enfin, le cercle peut également symboliser une égalité entre les personnes, comme dans la Table ronde du roi Arthur.

Définition du cercle

Autrefois, le langage courant utilisait le terme « cercle » pour nommer à la fois la courbe (circonférence) et la surface qu’elle entourait. Aujourd’hui, en mathématiques, le cercle ne désigne plus que la courbe en question, tandis que la surface qu’il contient est nommée disque. Le nombre π (Pi) est défini comme le quotient de la circonférence d’un cercle par son diamètre.

• Une corde est un segment de droite dont les extrémités sont situées sur le cercle.
• Un arc est une portion de cercle limitée par deux points.
• Une flèche est le segment reliant les milieux d’un arc de cercle et d’une corde partageant les mêmes points du cercle.
• Un rayon est un segment de droite reliant le centre du cercle à un point situé sur le cercle.
• Un diamètre est une corde passant par le centre du cercle et divisant le disque en deux parties égales. Il est constitué de deux rayons colinéaires et a une longueur égale à 2r, où r est le rayon du cercle.
• Un disque est la région du plan limitée par le cercle.
• Un secteur circulaire est la partie du disque comprise entre deux rayons.
• Un segment circulaire est la portion du disque comprise entre une corde et l’arc de cercle qu’elle sous-tend.
• Un angle au centre est un angle formé par deux rayons du cercle.
• La circonférence est le périmètre du cercle et mesure 2πr, où r est le rayon du cercle.

Les équations du cercle

Équations cartésiennes et paramétriques du cercle

L’équation cartésienne du cercle de centre C (a,b) et de rayon r dans un plan muni d’un repère orthonormé est donnée par : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Cette équation peut également être utilisée pour le cercle unité ou cercle trigonométrique (le cercle dont le centre est l’origine du repère et dont le rayon vaut 1) qui est défini par l’équation x^2 + y^2 = 1. Cette équation découle du théorème de Pythagore appliqué à un triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.

En mettant y en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal) : y = b ± sqrt(r^2 – (x-a)^2).

Des équations paramétriques possibles du cercle (en fonction du paramètre θ qui exprime ici un angle orienté du vecteur joignant le centre du cercle à l’un de ses points par rapport au vecteur horizontal unité du repère) sont données par : x = a + rcos(θ) ; y = b + rsin(θ)

Pour un cercle centré sur l’origine (0 ; 0), les équations paramétriques sont : x = rcos(θ) ; y = rsin(θ)

Et pour le cercle unité, les équations paramétriques sont : x = cos(θ) ; y = sin(θ).

Le cercle et ses points d’intersection avec une droite

Le cercle est une figure géométrique plane définie comme l’ensemble des points situés à égale distance d’un point fixe appelé centre. Lorsqu’une droite est tracée dans le plan et qu’elle coupe le cercle, on parle alors de points d’intersection.

En utilisant la géométrie analytique, il est possible de déterminer les points d’intersection d’un cercle et d’une droite. Pour ce faire, on considère que l’origine du repère est le centre du cercle et que l’axe des abscisses est parallèle à la droite. On résout ensuite un système d’équations pour déterminer les coordonnées des points d’intersection.

Selon la position de la droite par rapport au cercle, trois cas peuvent se présenter :

• Si la distance entre le centre du cercle et la droite est plus grande que le rayon, alors il n’y a pas de points d’intersection.
• Si la distance entre le centre du cercle et la droite est égale au rayon, alors la droite est tangente au cercle en un unique point d’intersection.
• Si la distance entre le centre du cercle et la droite est plus petite que le rayon, alors il existe deux points d’intersection distincts.

Le cercle vu comme une section

Le cercle est une conique qui possède des propriétés particulières : ses foyers sont situés au même endroit que son centre et les longueurs de son grand et petit axe sont égales. Sa valeur d’excentricité e est égale à 0. Cette figure géométrique peut être obtenue en coupant un cône de révolution avec un plan perpendiculaire à son axe. On parle souvent de « section droite » du cône.

En dessin industriel, un cercle est souvent représenté en mettant en évidence son axe horizontal et vertical à l’aide de traits fins et de tirets longs et courts. Dans d’autres cas, il peut simplement être représenté avec une croix droite « + » en traits fins. Si une forme de révolution, telle qu’un cylindre, un cône ou une sphère, est vue selon son axe de révolution, elle apparaîtra sous la forme d’un cercle plein ou creux.

Quelles sont les propriétés géométriques du cercle ?

Les mesures du cercle

La mesure d’un angle α, exprimé en radians, sous-tendu par un arc de rayon r est égale à αr. Par conséquent, lorsque l’angle est de 2π (un tour complet), la circonférence du cercle est égale à 2πr. L’aire du disque inscrit dans un cercle de rayon r est égale à πr². En outre, si l’on prend une corde de longueur l et que l’on en fait le périmètre d’une surface fermée, la plus grande surface possible sera celle d’un cercle.

Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le périmètre serait délimité par une peau de vache. Didon coupa cette peau en une longue lanière et choisit une forme circulaire pour obtenir la plus grande surface possible.

Le cercle par la flèche d’un arc et la corde

La formule pour calculer la longueur d’une corde sous-tendue par un angle α est 2r sin(α/2).

Pour trouver le rayon r, la corde c et la flèche f d’un arc quelconque d’un cercle, on peut utiliser le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par r-f, c/2 et r (qui est l’hypoténuse) :

• c = 2√((2r-f)f)
• r = (4f²+c²)/(8f)
• f = r-√(r²-(c²/4))

La sinuosité de deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continuité dérivable ne dépend pas du rayon du cercle.

La tangente du cercle

La tangente au cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon passant par ce point. Cette propriété est utilisée en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d’un miroir sphérique se réfléchit en sens inverse selon la même trajectoire (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l’on place une source de lumière au centre d’un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l’autre côté, permettant ainsi de diriger la lumière vers un miroir parabolique, par exemple (principe du contre-miroir).

Pour trouver la tangente à un cercle de centre O passant par un point extérieur A, on doit déterminer le point de tangence T. On utilise le fait que le triangle AOT est un triangle rectangle en T. Ce triangle rectangle est donc inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu du segment [AO], ou encore, de manière équivalente, que l’hypoténuse a une longueur double de celle de la médiane issue de l’angle droit. Ainsi, le milieu I de [AO] est déterminé, puis un arc de cercle de centre I et de rayon IO est tracé. Cet arc de cercle coupe le cercle en deux points de tangence T.

La médiatrice du cercle

Le centre d’un cercle peut être trouvé en traçant deux cordes non parallèles et en trouvant l’intersection de leurs médiatrices, car la médiatrice d’une corde passe toujours par le centre du cercle. De plus, on peut démontrer que les trois médiatrices d’un triangle se croisent en un point unique, qui est le centre du cercle circonscrit au triangle, passant par les trois sommets.

Le cercle et le triangle rectangle

Considérons un cercle contenant trois points A, B et C, dont deux sont diamétralement opposés (c’est-à-dire que [AC] est un diamètre). Dans ce cas, le triangle ABC est un triangle rectangle en B.

Cette propriété s’explique par le fait que la médiane issue de l’angle droit a une longueur égale à la moitié de l’hypoténuse (puisque nous avons un rayon et un diamètre). Cette particularité est connue sous le nom de « théorème de l’angle inscrit dans un demi-cercle » ou « théorème de Thalès » (dans certains pays anglophones ou en Allemagne). Inversement, si A et C sont deux points diamétralement opposés sur un cercle et si B est un point quelconque du plan tel que le triangle ABC soit rectangle en B, alors B appartient également au cercle.

Le cercle, l’angle au centre et l’angle inscrit

Si A et B sont deux points distincts du cercle, O en est le centre et C est un autre point du cercle, alors l’angle au centre ∠AOB est égal au double de l’angle ∠ACB. Pour calculer l’angle ∠AOB, il suffit de prendre en compte le secteur angulaire qui intercepte l’arc opposé à l’arc contenant C.

Cette propriété est fréquemment utilisée dans les appareils d’analyse spectrale par dispersion de longueur d’onde, tels que le cercle de focalisation ou le cercle de Rowland.

Quelle est la puissance d’un point par rapport à un cercle ?

Pour tout point M et tout cercle Γ de centre O et de rayon R, pour toute droite passant par M et coupant le cercle en A et B, on a : MA x MB = |OM² – R²|

Cette valeur est indépendante de la droite choisie, mais dépend uniquement de la position de M par rapport au cercle. Si M est à l’extérieur du cercle, MA x MB = OM² – R². Si M est à l’intérieur du cercle, MA x MB = R² – OM², qui correspond au produit des mesures algébriques MA et MB. La puissance du point M par rapport au cercle Γ est alors définie comme le produit des mesures algébriques MA et MB, qui est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM² – R².

Lorsque le point M est à l’extérieur du cercle, on peut mener des tangentes au cercle et en appelant T le point de contact d’une de ces tangentes, la puissance de M est égale à MT². L’égalité MA x MB = MT² est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.

La puissance d’un point permet également de vérifier que quatre points sont cocycliques. En effet, si A, B, C et D sont quatre points tels que (AB) et (CD) se coupent en M et que MA x MB = MC x MD en mesures algébriques, alors les quatre points sont cocycliques.

Quel est le rapport des cercles inscrits ?

Le rapport des rayons des cercles inscrits dans deux triangles semblables est égal au rapport de leurs côtés homologues. Autrement dit, si deux triangles sont semblables, alors le rapport des rayons de leurs cercles inscrits est égal au rapport de leurs côtés homologues. Cette propriété est appelée la propriété de similitude des triangles.

Cette propriété est très utile en géométrie pour calculer les dimensions d’un triangle à partir des dimensions d’un autre triangle semblable. Elle est également utilisée dans d’autres domaines, tels que la physique, pour calculer les dimensions de structures similaires.

Quelle est l’origine du cercle ?

À l’origine, le cercle entier est décrit comme la ligne imaginaire qui entoure la Terre et qui la sépare en deux hémisphères. C’est grâce à cette ligne que les scientifiques ont pu mesurer la circonférence de la Terre. Cette mesure est d’une importance capitale, car elle a permis de mieux comprendre la géographie et la topographie de notre planète. L’histoire de la mesure de la circonférence de la Terre remonte à l’Antiquité. Les Grecs ont été les premiers à proposer des méthodes pour calculer la taille de la Terre. Cependant, il a fallu attendre plusieurs siècles pour que ces méthodes soient améliorées et que la mesure soit finalement effectuée.

Au XVIe siècle, un scientifique hollandais nommé Eratosthène a utilisé des mesures astronomiques pour calculer la circonférence de la Terre. Il a remarqué que le Soleil ne projetait pas les mêmes ombres à la même heure sur des objets situés à des endroits différents. En mesurant l’angle formé par les rayons du Soleil, il a pu calculer la distance entre les deux villes et, par conséquent, la circonférence de la Terre. Plus tard, un autre scientifique hollandais, Christophe Colomb, a également contribué à la mesure de la circonférence de la Terre. En 1508, il a créé un outil appelé astrolabe, qui a permis aux marins de naviguer plus précisément en utilisant les étoiles. L’astrolabe a été utilisé pour mesurer la hauteur des étoiles à différents endroits de la Terre, ce qui a permis de calculer la circonférence.

Aujourd’hui, nous avons une mesure précise de la circonférence de la Terre, grâce aux travaux des scientifiques du passé. La circonférence de la Terre est d’environ 40 075 kilomètres, et elle peut être mesurée avec une grande précision grâce aux technologies modernes.

Significations du cercle

Le cercle est un symbole universel de l’unité, de l’éternité et de l’infini. Dans de nombreuses traditions spirituelles anciennes, le cercle était considéré comme la forme la plus parfaite et la plus sacrée. Le centre du cercle représentait le point d’union entre les mondes matériels et spirituels, et le cercle lui-même représentait l’harmonie, l’équilibre et l’ordre divin.

Dans la géométrie sacrée, le cercle est souvent associé à d’autres formes géométriques, telles que le carré, le triangle et le pentagramme. Ensemble, ces formes forment des motifs complexes qui ont une signification profonde et symbolique.

Le cercle dans notre vie quotidienne

Bien que la symbolique du cercle puisse sembler abstraite, elle peut être appliquée dans notre vie quotidienne pour nous aider à trouver l’harmonie et l’équilibre intérieur. Le cercle peut être utilisé comme une forme de méditation, en visualisant un cercle de lumière autour de nous pour nous protéger des énergies négatives et pour renforcer notre aura.

Le cercle peut également être utilisé comme un outil de guérison, en plaçant des cristaux ou d’autres objets sacrés dans un cercle pour amplifier leur énergie et leur pouvoir de guérison. Le cercle peut également être utilisé pour créer une harmonie dans les relations, en créant un cercle de confiance et de soutien avec nos amis et notre famille.

Le cercle en géométrie sacrée est un symbole puissant qui peut nous aider à trouver l’harmonie et l’équilibre intérieur. En comprenant la signification profonde du cercle et en l’appliquant dans notre vie quotidienne, nous pouvons renforcer notre connexion avec le monde spirituel et trouver la paix intérieure. Nous espérons que cet article vous a aidé à mieux comprendre la symbolique du cercle en géométrie sacrée et à trouver des moyens pratiques de l’appliquer dans votre vie.

Symboles du cercle à travers les cultures

Le cercle : symbole du mouvement perpétuel

Le cercle est symbole du mouvement perpétuel et de l’harmonie. Sa forme ronde et continue symbolise l’infini, l’unité, l’éternité, la perfection et la plénitude. Il n’a ni commencement ni fin, ce qui reflète également la notion de cycle et de renouvellement. En outre, le cercle est également un symbole de l’équilibre et de l’harmonie, car il est parfaitement équilibré en toutes circonstances.

Dans de nombreuses cultures, le cercle est un symbole sacré. Par exemple, dans la tradition chinoise, le cercle représente le ciel et la terre, ainsi que l’unité et l’harmonie du cosmos. Dans la culture amérindienne, le cercle sacré est utilisé lors de cérémonies rituelles pour représenter l’unité et la continuité de la vie. Dans la mythologie nordique, le cercle sacré est associé à la déesse Freyja, qui symbolise l’amour et la fertilité.

Le cercle est également un symbole important dans la culture occidentale. Par exemple, dans la tradition chrétienne, le cercle est associé à la notion de salut éternel et de perfection divine. Le cercle est également utilisé comme symbole dans les logos d’entreprises et d’organisations, car il évoque des concepts tels que la cohésion, l’unité, l’harmonie et la perfection.

Symbole universel

Le cercle est un symbole universel qui est utilisé depuis des siècles dans de nombreuses cultures du monde entier. La forme ronde est souvent associée à l’idée de l’infini, de l’éternité et de l’unité. Le cercle est également un symbole de complétude, car il n’a ni début ni fin et représente l’équilibre et l’harmonie.

Dans de nombreuses cultures, le cercle est également associé à des concepts tels que la féminité, la fertilité et la vie. En fait, dans certaines cultures, le cercle est considéré comme un symbole sacré de la vie elle-même. Dans les cultures amérindiennes, le cercle est souvent utilisé dans les cérémonies pour représenter l’unité et la connexion avec le monde naturel.

Symbole du cercle dans les cultures occidentales

Dans les cultures occidentales, le cercle est souvent associé à des concepts tels que la perfection, l’unité et l’infini. Dans l’art et la littérature occidentale, le cercle est souvent utilisé pour représenter l’unité et la complétude. Le cercle est également utilisé dans les mathématiques pour représenter le concept de pi, qui est la constante mathématique utilisée pour calculer la circonférence d’un cercle.

Symbole du cercle dans les cultures orientales

Dans les cultures orientales, le cercle est souvent associé à des concepts tels que la spiritualité, l’harmonie et la méditation. Le cercle est souvent utilisé dans les mandalas, qui sont des dessins géométriques utilisés dans la méditation bouddhiste et hindoue. Les mandalas sont souvent utilisés pour aider à la méditation et à la concentration, ainsi que pour représenter l’univers et l’harmonie.

Le cercle est un symbole universel qui est utilisé dans de nombreuses cultures du monde entier pour représenter l’infini, l’unité et la complétude. Dans les cultures occidentales, le cercle est souvent utilisé pour représenter la perfection et l’harmonie, tandis que dans les cultures orientales, le cercle est souvent utilisé pour représenter la spiritualité et la méditation.