Carré

Le carré, son origine, sa représentation, ses significations, ses symboles en géométrie sacrée et ses bienfaits

Qu’est-ce qu’un carré ?

Un carré est une figure géométrique qui est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Il est considéré comme un polygone régulier, un losange, un rectangle et un parallélogramme particulier. Il possède quatre symétries axiales, deux rotations d’angle droit et une symétrie centrale par rapport à l’intersection de ses diagonales. Les représentations du carré remontent à la préhistoire et il est considéré comme l’une des figures géométriques les plus étudiées depuis l’Antiquité. Il est également lié à l’opération mathématique de multiplication par lui-même, en particulier, l’aire d’un carré est égale au carré de la longueur d’un côté.

Quelle est la composition du carré ?

Un carré est une figure plane formée par quatre segments de même longueur, appelés côtés, reliés aux quatre points appelés sommets dans un ordre cyclique. Les côtés forment des angles droits orientés dans le même sens. Les sommets qui sont reliés par un côté sont appelés consécutifs, sinon ils sont opposés. Le bord de la surface plane formée par les côtés est appelé carré plein, qui est l’enveloppe convexe des sommets. L’intérieur du carré est obtenu en enlevant le bord du carré plein. Si les sommets du carré sont nommés A, B, C et D dans cet ordre, le carré est noté ABCD et les caractéristiques mentionnées sont que AB=BC=CD=DA et les angles sont de 90 degrés.

Les diagonales d’un carré, qui sont de longueur égale et perpendiculaires, relient les sommets opposés. Le point où se croisent les deux diagonales est appelé le centre du carré, qui est à la fois l’isobarycentre des sommets et le centre de masse du carré plein. Ce point est également le centre d’un cercle circonscrit passant par les quatre sommets et de diamètre égal à la longueur des diagonales, ainsi que le centre d’un cercle inscrit tangent aux quatre côtés en leur milieu respectif et de diamètre égal au côté du carré.

Quelles sont les mesures du carré ?

Le périmètre d’un carré est égal à 4 fois la longueur d’un côté (p=4c) et son aire est égale au carré de la longueur d’un côté (A=c^2). Les diagonales d’un carré ont une longueur égale à c * racine carrée de 2 (d=c*√2), ce qui est démontré par l’utilisation du théorème de Pythagore dans un triangle isocèle rectangle formé par une diagonale et deux côtés du carré. Ce rapport peut également être illustré par le fait qu’un grand carré, ayant pour côté la diagonale du carré initial, peut être décomposé en quatre triangles isocèles rectangles qui peuvent être reconstitués pour former deux carrés de la même taille que le carré initial. Le carré est, parmi les quadrilatères ayant le même périmètre, celui qui possède la plus grande surface, ce qui en fait la réponse à la question d’isopérimétrie dans les quadrilatères.

La construction d’un carré
Construction de carré n°1	Construction de carré n°2	Construction de carré n°3
Carré dans un cercle	Carré avec longueur des côtés connues	Carré avec longueur des diagonales connues

Quels sont les problèmes associés au carré ?

La quadrature du cercle est un défi mathématique consistant à construire un carré ayant la même aire qu’un cercle donné, en utilisant uniquement des outils tels que la règle et le compas. Cependant, il a été prouvé que cela est impossible en raison de la transcendance de π, une propriété mathématique démontrée par Ferdinand von Lindemann en 1882. La quadrature du carré, quant à elle, consiste à découper la surface d’un carré en un nombre fini de carrés de côté entier, tous de tailles différentes. Plusieurs solutions ont été proposées au cours du XXe siècle. L’empilement de carrés dans un carré ou un cercle consiste à déterminer la taille maximale de n carrés qui peuvent être disposés de manière disjointe dans un carré ou un cercle de taille donnée, en fonction du nombre n. Il n’y a pas de formule générale connue pour résoudre ce problème, cependant de nombreux empilements ont été proposés et certains d’entre eux ont été démontrés comme étant optimaux pour des petites valeurs de n ou si ce nombre est déjà un carré parfait.

La conjecture de Toeplitz affirme que toute courbe fermée simple contient quatre points distincts qui forment les sommets d’un carré. Bien que des versions de cette conjecture aient été démontrées sous des hypothèses supplémentaires de régularité ou de symétrie sur la courbe, elle reste un défi mathématique dans un cadre général, en particulier pour les courbes fractales. La division d’un carré en plusieurs carrés plus petits en suivant un quadrillage est également à l’origine de nombreux problèmes mathématiques, utilisés notamment comme jeux tels que le carré gréco-latin, le carré magique, le carré latin, et le sudoku.

Histoire et origine du carré

Des poteries ornées de motifs carrés ont été retrouvées datant du VIème millénaire avant JC en Mésopotamie. Des tablettes démontrent que les anciens avaient une connaissance des symétries et des rotations des carrés dès le XVIIIème siècle avant JC. La tablette BM 15285 contient une quarantaine de problèmes mathématiques concernant les aires de figures liées aux carrés. L’Ancien Testament recommandait également de construire des villes de forme carrée, indépendamment de la forme de ses remparts. La symbolique du carré est liée au nombre 4, à la raison, à la rigueur et à la droiture. Bien que peu courant dans la nature, on peut trouver des cubes de fluorite cristallisés de façon cubique.

Le carré, également connu sous le nom de tétraèdre, est l’un des symboles les plus universels, avec la croix, le cercle et le centre. Il est souvent utilisé comme forme de l’espace habitable et des champs clôturés par de nombreux peuples, et est considéré comme le symbole de l’univers créé et de la nature en opposition à l’incréé et au créateur.

Il est associé au chiffre 4, qui symbolise l’ordre de l’univers et l’opposition des contraires. Il représente l’unité, l’intégralité et l’équilibre des quatre fonctions psychiques : la pensée, la sensation, l’intuition et le sentiment. Le carré est dérivé du cercle, et évoque la croix en rotation autour de son axe. Il est utilisé pour représenter la division du temps en quatre saisons et la division de l’espace en quatre points cardinaux, ainsi que les quatre éléments traditionnels (terre, feu, eau, air).

Dans la culture sacrée, le carré est souvent associé au cercle pour exprimer la dualité entre la Terre et le Ciel. C’est pourquoi de nombreux bâtiments sacrés ont une base carrée et un toit circulaire, comme les stupas bouddhiques par exemple. Le carré est considéré comme un symbole de rigueur. Le qualificatif « carré » peut décrire quelqu’un comme étant rigoureux, réfléchi, discipliné, organisé et droit. Il est également associé à la justice, à la force et à la virilité.

Où le carré se trouve-t-il dans les constructions humaines ?

Comme mentionné précédemment, les exemples de formes géométriques carrées observables dans la nature sont rares. Ce qu’on trouve plus facilement, ce sont des structures ou des ensembles fonctionnant avec le nombre 4 : les quatre éléments, les quatre points cardinaux, ou encore les quatre saisons d’une année. Ces exemples ne sont pas des êtres vivants particuliers ou des minéraux, mais des modèles qui structurent notre réalité matérielle : c’est là tout le sens symbolique du carré et du nombre 4.

L’utilisation du carré dans l’art, l’architecture et la construction, en réinvestissant son symbolisme puissant, est exemplaire dans la base des pyramides d’Egypte. Le carré y permet de relier l’édifice à la terre et de permettre aux triangles de s’élever vers le ciel, en créant une dualité entre la matière et l’esprit. Cette dualité se retrouve également dans d’autres lieux sacrés, comme les stupa bouddhistes qui se composent d’une base carrée et d’un toit circulaire.

Le carré assure la stabilité et l’ancrage, symbolisant le monde matériel dans lequel nous évoluons. Cependant, il peut également représenter une certaine rigidité et des limitations, comme dans les premiers champs clôturés et lieux habitables qui étaient en forme de carré, marquant la séparation et la fermeture.

Significations du carré

Signification du carré en géométrie classique

La figure géométrique du carré se caractérise par ses quatre angles droits et des côtés de même longueur, ce qui en fait un polygone régulier. Il est également un cas particulier des losanges et des rectangles. Tous les carrés sont similaires, seul leur taille varie.

Signification du carré en géométrie sacrée

Le carré, avec ses quatre angles droits et ses côtés égaux, est un symbole géométrique fort qui représente le nombre 4 en numérologie. Il est associé à la matérialité et à la structure. Bien que peu présent dans la nature, c’est une forme que l’on retrouve dans de nombreuses constructions humaines, reflétant son symbolisme fort et sa signification de base solide et stable.

Le carré est associé à des concepts tels que la structure, la fiabilité, la rigueur et l’organisation. Il symbolise également l’équilibre de l’univers, la neutralité et la justice grâce à ses proportions équilibrées. Contrairement au triangle qui représente le ciel, le carré est ancré dans la matière et nous relie à la terre. Il est considéré comme une base solide qui nous permet de nous sentir stable.

Symboles du carré à travers les cultures

Le carré : figure solide et stable

Le carré est considéré comme l’un des symboles les plus universels, avec la croix, le cercle et le centre. Il est associé à l’espace habitable et aux champs clôturés chez de nombreux peuples. Il est également considéré comme l’emblème du monde créé et de la nature, en opposition à l’incréé et au créateur. Il résume également le symbolisme du nombre quatre, représentant l’ordre de l’Univers et la nécessité des contraires. Il est considéré comme symbole d’unité, d’intégralité et d’équilibre des quatre fonctions psychiques, pensée, sensation, intuition et sentiment. Enfin, il est considéré comme une figure anti-dynamique, ancrée sur quatre côtés, symbolisant l’arrêt, la stagnation, la solidification et la stabilisation dans la perfection.

La structure du monde par le carré

Le carré, symbole universel de l’ordre et de la structure, est utilisé pour s’orienter dans l’espace et établir un système de coordonnées. Il impose une organisation au chaos et permet de diviser la terre en quatre saisons et points cardinaux, comme le montre Luc Benoist dans son ouvrage « Signes, symboles et mythes ». Il est également associé aux quatre directions de la boussole.

Le carré et le cercle

Le carré, issu du cercle, symbolise la division de l’espace et du temps en quatre parties égales, comme les quatre points cardinaux ou les quatre saisons. Il est souvent associé au cercle dans la culture sacrée pour représenter la dualité ciel-terre, comme dans les stupas bouddhiques qui ont une base carrée et un toit circulaire. « La quadrature du cercle » exprime l’idée d’une harmonie idéale entre le céleste et le terrestre.

La rigueur est symbolisée par le carré stable et solide, qui permet d’optimiser l’espace en architecture contrairement au cercle, considéré comme une perte d’espace dans un environnement urbain. Le carré, exempt de toute tension, offre une neutralité et objectivité, et sa fiabilité, sa solidité, et sa stabilité en font un élément commun dans les logos d’entreprises. Les pyramides à base carrée d’Egypte et du monde entier allient simplicité et beauté fascinante en combinant le carré et le triangle, renvoyant à une idée de stabilité. Dans l’architecture sacrée, le carré est souvent associé au cercle pour exprimer la dualité ciel-terre, comme dans les stupas bouddhiques qui possèdent une base carrée et un toit circulaire. La quadrature du cercle, considérée comme impossible matériellement, symbolise le désir d’une harmonie idéale entre le céleste et le terrestre. (Michel Cazenave)

Le carré et sa rigueur

Selon Platon, le carré et le cercle sont considérés comme absolument beaux en soi. Ces deux figures ont été largement utilisées par les artistes de toutes époques, notamment par les peintres abstraits. Dans l’art moderne, le carré, les groupes de carrés et de rectangles, ou de rectangles et de rhomboïdes, apparaissent fréquemment aussi bien que le cercle. Le Hollandais Piet Mondrian est considéré comme le maître des compositions harmonieuses de carrés. Ses tableaux sont caractérisés par l’absence d’un véritable centre mais par la présence d’un ensemble ordonné d’une rigueur presque ascétique. (Aniéla Jaffé)

Le carré, gage de fiabilité, stabilité et solidité

Le carré, en raison de son manque de tension, est considéré comme ayant une « neutralité et objectivité ». Sa fiabilité, sa solidité et sa stabilité en font un élément courant dans les logos d’entreprises qui souhaitent transmettre ces notions, comme Orange, FNAC, Société Générale, ENI/AGIP. Bien sûr, la partition de la forme, la couleur choisie, la typographie et la disposition peuvent compléter et modifier la valeur symbolique du carré, mais cela est un autre sujet.

Utilisation du carré en géométrie sacrée

Le carré est un symbole puissant, représentant le monde manifesté et renvoyant à la sphère terrestre. En géométrie sacrée, il est considéré en relation avec le cercle. Alors que le cercle est une forme géométrique active, en mouvement constant, le carré est une figure fixe bien ancrée, semblant marquer une pause. Le cercle est considéré comme une représentation de l’Esprit, tandis que le carré, contenu à l’intérieur du cercle, est la manifestation de cette intention première dans la matière. Le cercle précède le carré, tous deux peuvent être obtenus à partir de la croix, un symbole spirituel puissant et universel. Ce lien entre la croix, le cercle et le carré montre toute la puissance ésotérique du carré.

Le carré est un symbole puissant, utilisé consciemment ou inconsciemment dans de nombreux domaines de l’activité humaine. Il est présent dans de nombreux logos d’entreprises et d’organisations, car il est associé à l’ordre et à l’équilibre. Dans l’inconscient collectif, cette forme géométrique est considérée comme un signe de sérieux et de stabilité.